פתור את a^5/a-1-a^2/a+1-1/a-1+1/a+1

$$\frac { a ^ { 5 } } { a - 1 } - \frac { a ^ { 2 } } { a + 1 } - \frac { 1 } { a - 1 } + \frac { 1 } { a + 1 }$$

הערך

$$a^{4}+a^{3}+a^{2}+2$$

שלבי פתרון קצר

כדי לחבר או להחסיר ביטויים, הרחב אותם כדי ליצור עבורם מכנה זהה. המכפלה המשותפת הקטנה ביותר של ‎a-1 ו- ‎a+1 היא \left(a-1\right)\left(a+1\right). הכפל את ‎\frac{a^{5}}{a-1} ב- ‎\frac{a+1}{a+1}. הכפל את ‎\frac{a^{2}}{a+1} ב- ‎\frac{a-1}{a-1}.

$$\frac{a^{5}\left(a+1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{a^{2}\left(a-1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{1}{a-1}+\frac{1}{a+1}$$

מכיוון ש- \frac{a^{5}\left(a+1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)} ו- \frac{a^{2}\left(a-1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)} כוללים מכנה זהה, חסר אותם על-ידי חיסור המונים שלהם.

$$\frac{a^{5}\left(a+1\right)-a^{2}\left(a-1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{1}{a-1}+\frac{1}{a+1}$$

בצע את פעולות הכפל ב- ‎a^{5}\left(a+1\right)-a^{2}\left(a-1\right).

$$\frac{a^{6}+a^{5}-a^{3}+a^{2}}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{1}{a-1}+\frac{1}{a+1}$$

כדי לחבר או להחסיר ביטויים, הרחב אותם כדי ליצור עבורם מכנה זהה. המכפלה המשותפת הקטנה ביותר של ‎\left(a-1\right)\left(a+1\right) ו- ‎a-1 היא \left(a-1\right)\left(a+1\right). הכפל את ‎\frac{1}{a-1} ב- ‎\frac{a+1}{a+1}.

$$\frac{a^{6}+a^{5}-a^{3}+a^{2}}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{a+1}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}+\frac{1}{a+1}$$

מכיוון ש- \frac{a^{6}+a^{5}-a^{3}+a^{2}}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)} ו- \frac{a+1}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)} כוללים מכנה זהה, חסר אותם על-ידי חיסור המונים שלהם.

$$\frac{a^{6}+a^{5}-a^{3}+a^{2}-\left(a+1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}+\frac{1}{a+1}$$

בצע את פעולות הכפל ב- ‎a^{6}+a^{5}-a^{3}+a^{2}-\left(a+1\right).

$$\frac{a^{6}+a^{5}-a^{3}+a^{2}-a-1}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}+\frac{1}{a+1}$$

פרק לגורמים את הביטויים שלא פורקו כבר לגורמים ב- \frac{a^{6}+a^{5}-a^{3}+a^{2}-a-1}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}.

$$\frac{\left(a-1\right)\left(a^{5}+2a^{4}+2a^{3}+a^{2}+2a+1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}+\frac{1}{a+1}$$

ביטול ‎a-1 גם במונה וגם במכנה.

$$\frac{a^{5}+2a^{4}+2a^{3}+a^{2}+2a+1}{a+1}+\frac{1}{a+1}$$

מכיוון ש- \frac{a^{5}+2a^{4}+2a^{3}+a^{2}+2a+1}{a+1} ו- \frac{1}{a+1} כוללים מכנה זהה, חבר אותם על-ידי חיבור המונים שלהם.

$$\frac{a^{5}+2a^{4}+2a^{3}+a^{2}+2a+1+1}{a+1}$$

כינוס איברים דומים ב- a^{5}+2a^{4}+2a^{3}+a^{2}+2a+1+1.

$$\frac{a^{5}+2a^{4}+2a^{3}+a^{2}+2a+2}{a+1}$$

פרק לגורמים את הביטויים שלא פורקו כבר לגורמים ב- \frac{a^{5}+2a^{4}+2a^{3}+a^{2}+2a+2}{a+1}.

$$\frac{\left(a+1\right)\left(a^{2}-a+1\right)\left(a^{2}+2a+2\right)}{a+1}$$

ביטול ‎a+1 גם במונה וגם במכנה.

$$\left(a^{2}-a+1\right)\left(a^{2}+2a+2\right)$$

הרחב את הביטוי.

$$a^{4}+a^{3}+a^{2}+2$$

גזור ביחס ל- ‎a

$$a\left(4a^{2}+3a+2\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בכלל נגזרת של סכום

כדי לחבר או להחסיר ביטויים, הרחב אותם כדי ליצור עבורם מכנה זהה. המכפלה המשותפת הקטנה ביותר של ‎a-1 ו- ‎a+1 היא \left(a-1\right)\left(a+1\right). הכפל את ‎\frac{a^{5}}{a-1} ב- ‎\frac{a+1}{a+1}. הכפל את ‎\frac{a^{2}}{a+1} ב- ‎\frac{a-1}{a-1}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(\frac{a^{5}\left(a+1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{a^{2}\left(a-1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{1}{a-1}+\frac{1}{a+1})$$

מכיוון ש- \frac{a^{5}\left(a+1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)} ו- \frac{a^{2}\left(a-1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)} כוללים מכנה זהה, חסר אותם על-ידי חיסור המונים שלהם.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(\frac{a^{5}\left(a+1\right)-a^{2}\left(a-1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{1}{a-1}+\frac{1}{a+1})$$

בצע את פעולות הכפל ב- ‎a^{5}\left(a+1\right)-a^{2}\left(a-1\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(\frac{a^{6}+a^{5}-a^{3}+a^{2}}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{1}{a-1}+\frac{1}{a+1})$$

כדי לחבר או להחסיר ביטויים, הרחב אותם כדי ליצור עבורם מכנה זהה. המכפלה המשותפת הקטנה ביותר של ‎\left(a-1\right)\left(a+1\right) ו- ‎a-1 היא \left(a-1\right)\left(a+1\right). הכפל את ‎\frac{1}{a-1} ב- ‎\frac{a+1}{a+1}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(\frac{a^{6}+a^{5}-a^{3}+a^{2}}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{a+1}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}+\frac{1}{a+1})$$

מכיוון ש- \frac{a^{6}+a^{5}-a^{3}+a^{2}}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)} ו- \frac{a+1}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)} כוללים מכנה זהה, חסר אותם על-ידי חיסור המונים שלהם.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(\frac{a^{6}+a^{5}-a^{3}+a^{2}-\left(a+1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}+\frac{1}{a+1})$$

בצע את פעולות הכפל ב- ‎a^{6}+a^{5}-a^{3}+a^{2}-\left(a+1\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(\frac{a^{6}+a^{5}-a^{3}+a^{2}-a-1}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}+\frac{1}{a+1})$$

פרק לגורמים את הביטויים שלא פורקו כבר לגורמים ב- \frac{a^{6}+a^{5}-a^{3}+a^{2}-a-1}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(\frac{\left(a-1\right)\left(a^{5}+2a^{4}+2a^{3}+a^{2}+2a+1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}+\frac{1}{a+1})$$

ביטול ‎a-1 גם במונה וגם במכנה.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(\frac{a^{5}+2a^{4}+2a^{3}+a^{2}+2a+1}{a+1}+\frac{1}{a+1})$$

מכיוון ש- \frac{a^{5}+2a^{4}+2a^{3}+a^{2}+2a+1}{a+1} ו- \frac{1}{a+1} כוללים מכנה זהה, חבר אותם על-ידי חיבור המונים שלהם.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(\frac{a^{5}+2a^{4}+2a^{3}+a^{2}+2a+1+1}{a+1})$$

כינוס איברים דומים ב- a^{5}+2a^{4}+2a^{3}+a^{2}+2a+1+1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(\frac{a^{5}+2a^{4}+2a^{3}+a^{2}+2a+2}{a+1})$$

פרק לגורמים את הביטויים שלא פורקו כבר לגורמים ב- \frac{a^{5}+2a^{4}+2a^{3}+a^{2}+2a+2}{a+1}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(\frac{\left(a+1\right)\left(a^{2}-a+1\right)\left(a^{2}+2a+2\right)}{a+1})$$

ביטול ‎a+1 גם במונה וגם במכנה.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(\left(a^{2}-a+1\right)\left(a^{2}+2a+2\right))$$

הרחב את הביטוי.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(a^{4}+a^{3}+a^{2}+2)$$

הנגזרת של פולינום היא סכום הנגזרות של האיברים שלו. הנגזרת של איבר קבוע היא 0. הנגזרת של ax^{n} היא nax^{n-1}.

$$4a^{4-1}+3a^{3-1}+2a^{2-1}$$

החסר ‎1 מ- ‎4.

$$4a^{3}+3a^{3-1}+2a^{2-1}$$

החסר ‎1 מ- ‎3.

$$4a^{3}+3a^{2}+2a^{2-1}$$

החסר ‎1 מ- ‎2.

$$4a^{3}+3a^{2}+2a^{1}$$

עבור כל איבר t,‏ t^{1}=t.

$$4a^{3}+3a^{2}+2a$$