פתור את frac{6(k^{2}+1)^{2}-(3k^2-1)^2}{(3k^2+1)^2}=5/4

$$\frac { 6 ( k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } - ( 3 k ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } { ( 3 k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = \frac { 5 } { 4 }$$

פתור עבור k

$$k=-1$$

$$k=1$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 4\left(3k^{2}+1\right)^{2}, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של \left(3k^{2}+1\right)^{2},4.

$$4\left(6\left(k^{2}+1\right)^{2}-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(k^{2}+1\right)^{2}.

$$4\left(6\left(\left(k^{2}\right)^{2}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

כדי להעלות חזקה בחזקה אחרת, הכפל את המעריכים. הכפל את ‎2 ו- 2‎ כדי לקבל ‎4.

$$4\left(6\left(k^{4}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 6 ב- k^{4}+2k^{2}+1.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(3k^{2}-1\right)^{2}.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9\left(k^{2}\right)^{2}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

כדי להעלות חזקה בחזקה אחרת, הכפל את המעריכים. הכפל את ‎2 ו- 2‎ כדי לקבל ‎4.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9k^{4}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎9k^{4}-6k^{2}+1, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-9k^{4}+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

כנס את ‎6k^{4} ו- ‎-9k^{4} כדי לקבל ‎-3k^{4}.

$$4\left(-3k^{4}+12k^{2}+6+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

כנס את ‎12k^{2} ו- ‎6k^{2} כדי לקבל ‎18k^{2}.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+6-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

החסר את 1 מ- 6 כדי לקבל 5.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+5\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- -3k^{4}+18k^{2}+5.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(3k^{2}+1\right)^{2}.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9\left(k^{2}\right)^{2}+6k^{2}+1\right)$$

כדי להעלות חזקה בחזקה אחרת, הכפל את המעריכים. הכפל את ‎2 ו- 2‎ כדי לקבל ‎4.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9k^{4}+6k^{2}+1\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 5 ב- 9k^{4}+6k^{2}+1.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=45k^{4}+30k^{2}+5$$

החסר ‎45k^{4} משני האגפים.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20-45k^{4}=30k^{2}+5$$

כנס את ‎-12k^{4} ו- ‎-45k^{4} כדי לקבל ‎-57k^{4}.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20=30k^{2}+5$$

החסר ‎30k^{2} משני האגפים.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20-30k^{2}=5$$

כנס את ‎72k^{2} ו- ‎-30k^{2} כדי לקבל ‎42k^{2}.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20=5$$

החסר ‎5 משני האגפים.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20-5=0$$

החסר את 5 מ- 20 כדי לקבל 15.

$$-57k^{4}+42k^{2}+15=0$$

השתמש ב- ‎t במקום ‎k^{2}.

$$-57t^{2}+42t+15=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎-57 ב- a, את ‎42 ב- b ואת ‎15 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$t=\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\left(-57\right)\times 15}}{-57\times 2}$$

בצע את החישובים.

$$t=\frac{-42±72}{-114}$$

פתור את המשוואה ‎t=\frac{-42±72}{-114} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$t=-\frac{5}{19} t=1$$

מאחר ש- k=t^{2}, הפתרונות מתקבלים על-ידי הערכת k=±\sqrt{t}‎ עבור t חיובי.

$$k=1 k=-1$$

פתור עבור k (complex solution)

$$k=\frac{\sqrt{95}i}{19}\approx 0.512989176i$$

$$k=-\frac{\sqrt{95}i}{19}\approx -0-0.512989176i$$

$$k=-1$$

$$k=1$$