פתור את frac{6+sqrt{27}}{4-sqrt{3}}

$$\frac { 6 + \sqrt { 27 } } { 4 - \sqrt { 3 } }$$

הערך

$$\frac{18\sqrt{3}+33}{13}\approx 4.936685734$$

שלבי פתרון

פרק את 27=3^{2}\times 3 לגורמים. שכתב את השורש הריבועי של המכפלה \sqrt{3^{2}\times 3} כמכפלה של השורשים הריבועיים \sqrt{3^{2}}\sqrt{3}. הוצא את השורש הריבועי של 3^{2}.

$$\frac{6+3\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}$$

הפוך את המכנה של ‎\frac{6+3\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}} לרציונלי על-ידי הכפלת המונה והמכנה ב- ‎4+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{\left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}$$

שקול את \left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right). ניתן להמיר כפל להפרשי הריבועים באמצעות הכלל: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

‎4 בריבוע. ‎\sqrt{3} בריבוע.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{16-3}$$

החסר את 3 מ- 16 כדי לקבל 13.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{13}$$

החל את חוק הפילוג על-ידי הכפלת כל איבר של 6+3\sqrt{3} בכל איבר של 4+\sqrt{3}.

$$\frac{24+6\sqrt{3}+12\sqrt{3}+3\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{13}$$

כנס את ‎6\sqrt{3} ו- ‎12\sqrt{3} כדי לקבל ‎18\sqrt{3}.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+3\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{13}$$

הריבוע של ‎\sqrt{3} הוא ‎3.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+3\times 3}{13}$$

הכפל את ‎3 ו- ‎3 כדי לקבל ‎9.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+9}{13}$$

חבר את ‎24 ו- ‎9 כדי לקבל ‎33.

$$\frac{33+18\sqrt{3}}{13}$$