פתור את 50/49x^2-11/49x-24/49=0

$$\frac { 50 } { 49 } x ^ { 2 } - \frac { 11 } { 49 } x - \frac { 24 } { 49 } = 0$$

פתור עבור x

$$x=\frac{\sqrt{4921}+11}{100}\approx 0.811498396$$

$$x=\frac{11-\sqrt{4921}}{100}\approx -0.591498396$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$\frac{50}{49}x^{2}-\frac{11}{49}x-\frac{24}{49}=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- \frac{50}{49} במקום a, ב- -\frac{11}{49} במקום b, וב- -\frac{24}{49} במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{11}{49}\right)±\sqrt{\left(-\frac{11}{49}\right)^{2}-4\times \frac{50}{49}\left(-\frac{24}{49}\right)}}{2\times \frac{50}{49}}$$

העלה את ‎-\frac{11}{49} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-\frac{11}{49}\right)±\sqrt{\frac{121}{2401}-4\times \frac{50}{49}\left(-\frac{24}{49}\right)}}{2\times \frac{50}{49}}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎\frac{50}{49}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{11}{49}\right)±\sqrt{\frac{121}{2401}-\frac{200}{49}\left(-\frac{24}{49}\right)}}{2\times \frac{50}{49}}$$

הכפל את ‎-\frac{200}{49} ב- ‎-\frac{24}{49} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{-\left(-\frac{11}{49}\right)±\sqrt{\frac{121+4800}{2401}}}{2\times \frac{50}{49}}$$

הוסף את ‎\frac{121}{2401} ל- ‎\frac{4800}{2401} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{-\left(-\frac{11}{49}\right)±\sqrt{\frac{703}{343}}}{2\times \frac{50}{49}}$$

הוצא את השורש הריבועי של \frac{703}{343}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{11}{49}\right)±\frac{\sqrt{4921}}{49}}{2\times \frac{50}{49}}$$

ההופכי של ‎-\frac{11}{49} הוא ‎\frac{11}{49}.

$$x=\frac{\frac{11}{49}±\frac{\sqrt{4921}}{49}}{2\times \frac{50}{49}}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{50}{49}.

$$x=\frac{\frac{11}{49}±\frac{\sqrt{4921}}{49}}{\frac{100}{49}}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{\frac{11}{49}±\frac{\sqrt{4921}}{49}}{\frac{100}{49}} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎\frac{11}{49} ל- ‎\frac{\sqrt{4921}}{49}.

$$x=\frac{\sqrt{4921}+11}{\frac{100}{49}\times 49}$$

חלק את ‎\frac{11+\sqrt{4921}}{49} ב- ‎\frac{100}{49} על-ידי הכפלת ‎\frac{11+\sqrt{4921}}{49} בהופכי של ‎\frac{100}{49}.

$$x=\frac{\sqrt{4921}+11}{100}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{\frac{11}{49}±\frac{\sqrt{4921}}{49}}{\frac{100}{49}} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎\frac{\sqrt{4921}}{49} מ- ‎\frac{11}{49}.

$$x=\frac{11-\sqrt{4921}}{\frac{100}{49}\times 49}$$

חלק את ‎\frac{11-\sqrt{4921}}{49} ב- ‎\frac{100}{49} על-ידי הכפלת ‎\frac{11-\sqrt{4921}}{49} בהופכי של ‎\frac{100}{49}.

$$x=\frac{11-\sqrt{4921}}{100}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{4921}+11}{100} x=\frac{11-\sqrt{4921}}{100}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$\frac{50}{49}x^{2}-\frac{11}{49}x-\frac{24}{49}=0$$

הוסף ‎\frac{24}{49} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{50}{49}x^{2}-\frac{11}{49}x-\frac{24}{49}-\left(-\frac{24}{49}\right)=-\left(-\frac{24}{49}\right)$$

החסרת -\frac{24}{49} מעצמו נותנת 0.

$$\frac{50}{49}x^{2}-\frac{11}{49}x=-\left(-\frac{24}{49}\right)$$

החסר ‎-\frac{24}{49} מ- ‎0.

$$\frac{50}{49}x^{2}-\frac{11}{49}x=\frac{24}{49}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{50}{49}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$\frac{\frac{50}{49}x^{2}-\frac{11}{49}x}{\frac{50}{49}}=\frac{\frac{24}{49}}{\frac{50}{49}}$$

חילוק ב- ‎\frac{50}{49} מבטל את ההכפלה ב- ‎\frac{50}{49}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{11}{49}}{\frac{50}{49}}\right)x=\frac{\frac{24}{49}}{\frac{50}{49}}$$

חלק את ‎-\frac{11}{49} ב- ‎\frac{50}{49} על-ידי הכפלת ‎-\frac{11}{49} בהופכי של ‎\frac{50}{49}.

$$x^{2}-\frac{11}{50}x=\frac{\frac{24}{49}}{\frac{50}{49}}$$

חלק את ‎\frac{24}{49} ב- ‎\frac{50}{49} על-ידי הכפלת ‎\frac{24}{49} בהופכי של ‎\frac{50}{49}.

$$x^{2}-\frac{11}{50}x=\frac{12}{25}$$

חלק את ‎-\frac{11}{50}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{11}{100}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{11}{100} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{11}{50}x+\left(-\frac{11}{100}\right)^{2}=\frac{12}{25}+\left(-\frac{11}{100}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{11}{100} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{11}{50}x+\frac{121}{10000}=\frac{12}{25}+\frac{121}{10000}$$

הוסף את ‎\frac{12}{25} ל- ‎\frac{121}{10000} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{11}{50}x+\frac{121}{10000}=\frac{4921}{10000}$$

פרק x^{2}-\frac{11}{50}x+\frac{121}{10000} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{100}\right)^{2}=\frac{4921}{10000}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{100}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4921}{10000}}$$

פשט.

$$x-\frac{11}{100}=\frac{\sqrt{4921}}{100} x-\frac{11}{100}=-\frac{\sqrt{4921}}{100}$$

הוסף ‎\frac{11}{100} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{4921}+11}{100} x=\frac{11-\sqrt{4921}}{100}$$