פתור את 5x/x^2-4x-21-3/x-7+4/x+3

$$\frac { 5 x } { x ^ { 2 } - 4 x - 21 } - \frac { 3 } { x - 7 } + \frac { 4 } { x + 3 }$$

הערך

$$\frac{6x-37}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}$$

שלבי פתרון קצר

פרק את x^{2}-4x-21 לגורמים.

$$\frac{5x}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}-\frac{3}{x-7}+\frac{4}{x+3}$$

כדי לחבר או להחסיר ביטויים, הרחב אותם כדי ליצור עבורם מכנה זהה. המכפלה המשותפת הקטנה ביותר של ‎\left(x-7\right)\left(x+3\right) ו- ‎x-7 היא \left(x-7\right)\left(x+3\right). הכפל את ‎\frac{3}{x-7} ב- ‎\frac{x+3}{x+3}.

$$\frac{5x}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}-\frac{3\left(x+3\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4}{x+3}$$

מכיוון ש- \frac{5x}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)} ו- \frac{3\left(x+3\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)} כוללים מכנה זהה, חסר אותם על-ידי חיסור המונים שלהם.

$$\frac{5x-3\left(x+3\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4}{x+3}$$

בצע את פעולות הכפל ב- ‎5x-3\left(x+3\right).

$$\frac{5x-3x-9}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4}{x+3}$$

כינוס איברים דומים ב- 5x-3x-9.

$$\frac{2x-9}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4}{x+3}$$

כדי לחבר או להחסיר ביטויים, הרחב אותם כדי ליצור עבורם מכנה זהה. המכפלה המשותפת הקטנה ביותר של ‎\left(x-7\right)\left(x+3\right) ו- ‎x+3 היא \left(x-7\right)\left(x+3\right). הכפל את ‎\frac{4}{x+3} ב- ‎\frac{x-7}{x-7}.

$$\frac{2x-9}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4\left(x-7\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}$$

מכיוון ש- \frac{2x-9}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)} ו- \frac{4\left(x-7\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)} כוללים מכנה זהה, חבר אותם על-ידי חיבור המונים שלהם.

$$\frac{2x-9+4\left(x-7\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}$$

בצע את פעולות הכפל ב- ‎2x-9+4\left(x-7\right).

$$\frac{2x-9+4x-28}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}$$

כינוס איברים דומים ב- 2x-9+4x-28.

$$\frac{6x-37}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}$$

פיתוח ‎\left(x-7\right)\left(x+3\right).

$$\frac{6x-37}{x^{2}-4x-21}$$

גזור ביחס ל- ‎x

$$\frac{2\left(-3x^{2}+37x-137\right)}{\left(\left(x-7\right)\left(x+3\right)\right)^{2}}$$

שלבים הכוללים שימוש בכלל נגזרת של מנה

פרק את x^{2}-4x-21 לגורמים.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{5x}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}-\frac{3}{x-7}+\frac{4}{x+3})$$

כדי לחבר או להחסיר ביטויים, הרחב אותם כדי ליצור עבורם מכנה זהה. המכפלה המשותפת הקטנה ביותר של ‎\left(x-7\right)\left(x+3\right) ו- ‎x-7 היא \left(x-7\right)\left(x+3\right). הכפל את ‎\frac{3}{x-7} ב- ‎\frac{x+3}{x+3}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{5x}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}-\frac{3\left(x+3\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4}{x+3})$$

מכיוון ש- \frac{5x}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)} ו- \frac{3\left(x+3\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)} כוללים מכנה זהה, חסר אותם על-ידי חיסור המונים שלהם.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{5x-3\left(x+3\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4}{x+3})$$

בצע את פעולות הכפל ב- ‎5x-3\left(x+3\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{5x-3x-9}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4}{x+3})$$

כינוס איברים דומים ב- 5x-3x-9.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x-9}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4}{x+3})$$

כדי לחבר או להחסיר ביטויים, הרחב אותם כדי ליצור עבורם מכנה זהה. המכפלה המשותפת הקטנה ביותר של ‎\left(x-7\right)\left(x+3\right) ו- ‎x+3 היא \left(x-7\right)\left(x+3\right). הכפל את ‎\frac{4}{x+3} ב- ‎\frac{x-7}{x-7}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x-9}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4\left(x-7\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)})$$

מכיוון ש- \frac{2x-9}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)} ו- \frac{4\left(x-7\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)} כוללים מכנה זהה, חבר אותם על-ידי חיבור המונים שלהם.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x-9+4\left(x-7\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)})$$

בצע את פעולות הכפל ב- ‎2x-9+4\left(x-7\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x-9+4x-28}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)})$$

כינוס איברים דומים ב- 2x-9+4x-28.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{6x-37}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)})$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x-7 ב- x+3 ולכנס איברים דומים.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{6x-37}{x^{2}-4x-21})$$

עבור כל שתי פונקציות גזירות, הנגזרת של המנה של שתי הפונקציות היא המכנה כפול הנגזרת של המונה פחות המונה כפול הנגזרת של המכנה, כשהתוצאה המתקבלת מחולקת במכנה בריבוע.

$$\frac{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(6x^{1}-37)-\left(6x^{1}-37\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}-4x^{1}-21)}{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)^{2}}$$

הנגזרת של פולינום היא סכום הנגזרות של האיברים שלו. הנגזרת של איבר קבוע היא 0. הנגזרת של ax^{n} היא nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)\times 6x^{1-1}-\left(6x^{1}-37\right)\left(2x^{2-1}-4x^{1-1}\right)}{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)^{2}}$$

פשט.

$$\frac{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)\times 6x^{0}-\left(6x^{1}-37\right)\left(2x^{1}-4x^{0}\right)}{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)^{2}}$$

הכפל את ‎x^{2}-4x^{1}-21 ב- ‎6x^{0}.

$$\frac{x^{2}\times 6x^{0}-4x^{1}\times 6x^{0}-21\times 6x^{0}-\left(6x^{1}-37\right)\left(2x^{1}-4x^{0}\right)}{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)^{2}}$$

הכפל את ‎6x^{1}-37 ב- ‎2x^{1}-4x^{0}.

$$\frac{x^{2}\times 6x^{0}-4x^{1}\times 6x^{0}-21\times 6x^{0}-\left(6x^{1}\times 2x^{1}+6x^{1}\left(-4\right)x^{0}-37\times 2x^{1}-37\left(-4\right)x^{0}\right)}{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)^{2}}$$

כדי להכפיל חזקות בעלות בסיס זהה, חבר את המעריכים שלהן.

$$\frac{6x^{2}-4\times 6x^{1}-21\times 6x^{0}-\left(6\times 2x^{1+1}+6\left(-4\right)x^{1}-37\times 2x^{1}-37\left(-4\right)x^{0}\right)}{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)^{2}}$$

פשט.

$$\frac{6x^{2}-24x^{1}-126x^{0}-\left(12x^{2}-24x^{1}-74x^{1}+148x^{0}\right)}{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)^{2}}$$

כנס איברים דומים.

$$\frac{-6x^{2}+74x^{1}-274x^{0}}{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)^{2}}$$

עבור כל איבר t,‏ t^{1}=t.

$$\frac{-6x^{2}+74x-274x^{0}}{\left(x^{2}-4x-21\right)^{2}}$$

עבור כל איבר t מלבד 0,‏ t^{0}=1.

$$\frac{-6x^{2}+74x-274}{\left(x^{2}-4x-21\right)^{2}}$$