פתור את frac{5-sqrt{7}}{5+sqrt{7}}+frac{5+sqrt{7}}{5-sqrt{7}}

$$\frac { 5 - \sqrt { 7 } } { 5 + \sqrt { 7 } } + \frac { 5 + \sqrt { 7 } } { 5 - \sqrt { 7 } }$$

הערך

$$\frac{32}{9}\approx 3.555555556$$

שלבי פתרון קצר

הפוך את המכנה של ‎\frac{5-\sqrt{7}}{5+\sqrt{7}} לרציונלי על-ידי הכפלת המונה והמכנה ב- ‎5-\sqrt{7}.

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

שקול את \left(5+\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right). ניתן להמיר כפל להפרשי הריבועים באמצעות הכלל: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{5^{2}-\left(\sqrt{7}\right)^{2}}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

‎5 בריבוע. ‎\sqrt{7} בריבוע.

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{25-7}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

החסר את 7 מ- 25 כדי לקבל 18.

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

הכפל את ‎5-\sqrt{7} ו- ‎5-\sqrt{7} כדי לקבל ‎\left(5-\sqrt{7}\right)^{2}.

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)^{2}}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(5-\sqrt{7}\right)^{2}.

$$\frac{25-10\sqrt{7}+\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

הריבוע של ‎\sqrt{7} הוא ‎7.

$$\frac{25-10\sqrt{7}+7}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

חבר את ‎25 ו- ‎7 כדי לקבל ‎32.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

הפוך את המכנה של ‎\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}} לרציונלי על-ידי הכפלת המונה והמכנה ב- ‎5+\sqrt{7}.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}$$

שקול את \left(5-\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right). ניתן להמיר כפל להפרשי הריבועים באמצעות הכלל: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{5^{2}-\left(\sqrt{7}\right)^{2}}$$

‎5 בריבוע. ‎\sqrt{7} בריבוע.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{25-7}$$

החסר את 7 מ- 25 כדי לקבל 18.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{18}$$

הכפל את ‎5+\sqrt{7} ו- ‎5+\sqrt{7} כדי לקבל ‎\left(5+\sqrt{7}\right)^{2}.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)^{2}}{18}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(5+\sqrt{7}\right)^{2}.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{25+10\sqrt{7}+\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{18}$$

הריבוע של ‎\sqrt{7} הוא ‎7.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{25+10\sqrt{7}+7}{18}$$

חבר את ‎25 ו- ‎7 כדי לקבל ‎32.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{32+10\sqrt{7}}{18}$$

מכיוון ש- \frac{32-10\sqrt{7}}{18} ו- \frac{32+10\sqrt{7}}{18} כוללים מכנה זהה, חבר אותם על-ידי חיבור המונים שלהם.

$$\frac{32-10\sqrt{7}+32+10\sqrt{7}}{18}$$

בצע את החישובים ב- ‎32-10\sqrt{7}+32+10\sqrt{7}.

$$\frac{64}{18}$$

צמצם את השבר ‎\frac{64}{18} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$\frac{32}{9}$$

פרק לגורמים

$$\frac{2 ^ {5}}{3 ^ {2}} = 3\frac{5}{9} = 3.5555555555555554$$