פתור את frac{4-sqrt{2}}{4+sqrt{2}}-frac{4+sqrt{2}}{4-sqrt{2}}

$$\frac { 4 - \sqrt { 2 } } { 4 + \sqrt { 2 } } - \frac { 4 + \sqrt { 2 } } { 4 - \sqrt { 2 } }$$

הערך

$$-\frac{8\sqrt{2}}{7}\approx -1.616244071$$

שלבי פתרון קצר

הפוך את המכנה של ‎\frac{4-\sqrt{2}}{4+\sqrt{2}} לרציונלי על-ידי הכפלת המונה והמכנה ב- ‎4-\sqrt{2}.

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

שקול את \left(4+\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right). ניתן להמיר כפל להפרשי הריבועים באמצעות הכלל: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

‎4 בריבוע. ‎\sqrt{2} בריבוע.

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}{16-2}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

החסר את 2 מ- 16 כדי לקבל 14.

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

הכפל את ‎4-\sqrt{2} ו- ‎4-\sqrt{2} כדי לקבל ‎\left(4-\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)^{2}}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(4-\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{16-8\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

הריבוע של ‎\sqrt{2} הוא ‎2.

$$\frac{16-8\sqrt{2}+2}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

חבר את ‎16 ו- ‎2 כדי לקבל ‎18.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

הפוך את המכנה של ‎\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}} לרציונלי על-ידי הכפלת המונה והמכנה ב- ‎4+\sqrt{2}.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}$$

שקול את \left(4-\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right). ניתן להמיר כפל להפרשי הריבועים באמצעות הכלל: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

‎4 בריבוע. ‎\sqrt{2} בריבוע.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}{16-2}$$

החסר את 2 מ- 16 כדי לקבל 14.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}{14}$$

הכפל את ‎4+\sqrt{2} ו- ‎4+\sqrt{2} כדי לקבל ‎\left(4+\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)^{2}}{14}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(4+\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{16+8\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{14}$$

הריבוע של ‎\sqrt{2} הוא ‎2.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{16+8\sqrt{2}+2}{14}$$

חבר את ‎16 ו- ‎2 כדי לקבל ‎18.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{18+8\sqrt{2}}{14}$$

מכיוון ש- \frac{18-8\sqrt{2}}{14} ו- \frac{18+8\sqrt{2}}{14} כוללים מכנה זהה, חסר אותם על-ידי חיסור המונים שלהם.

$$\frac{18-8\sqrt{2}-\left(18+8\sqrt{2}\right)}{14}$$

בצע את פעולות הכפל ב- ‎18-8\sqrt{2}-\left(18+8\sqrt{2}\right).

$$\frac{18-8\sqrt{2}-18-8\sqrt{2}}{14}$$

בצע את החישובים ב- ‎18-8\sqrt{2}-18-8\sqrt{2}.

$$\frac{-16\sqrt{2}}{14}$$

חלק את ‎-16\sqrt{2} ב- ‎14 כדי לקבל ‎-\frac{8}{7}\sqrt{2}.

$$-\frac{8}{7}\sqrt{2}$$