פתור את 3/x^2+2x-8-4/x^2+4x-12=x-4/x^2+10x+24

$$\frac { 3 } { x ^ { 2 } + 2 x - 8 } - \frac { 4 } { x ^ { 2 } + 4 x - 12 } = \frac { x - 4 } { x ^ { 2 } + 10 x + 24 }$$

פתור עבור x

$$x=3$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

המשתנה x אינו יכול להיות שווה לאף אחד מהערכים -6,-4,2 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- \left(x-2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right), הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של x^{2}+2x-8,x^{2}+4x-12,x^{2}+10x+24.

$$\left(x+6\right)\times 3-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x+6 ב- 3.

$$3x+18-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x+4 ב- 4.

$$3x+18-\left(4x+16\right)=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎4x+16, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$3x+18-4x-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

כנס את ‎3x ו- ‎-4x כדי לקבל ‎-x.

$$-x+18-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

החסר את 16 מ- 18 כדי לקבל 2.

$$-x+2=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x-2 ב- x-4 ולכנס איברים דומים.

$$-x+2=x^{2}-6x+8$$

החסר ‎x^{2} משני האגפים.

$$-x+2-x^{2}=-6x+8$$

הוסף ‎6x משני הצדדים.

$$-x+2-x^{2}+6x=8$$

כנס את ‎-x ו- ‎6x כדי לקבל ‎5x.

$$5x+2-x^{2}=8$$

החסר ‎8 משני האגפים.

$$5x+2-x^{2}-8=0$$

החסר את 8 מ- 2 כדי לקבל -6.

$$5x-6-x^{2}=0$$

סדר מחדש את הפולינום כדי להעביר אותה לצורה סטנדרטית. מקם את האיברים לפי הסדר מהחזקה הגבוהה ביותר לנמוכה ביותר.

$$-x^{2}+5x-6=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- -x^{2}+ax+bx-6. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=5 ab=-\left(-6\right)=6$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 6.

$$1,6 2,3$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+6=7 2+3=5$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 5.

$$a=3 b=2$$

שכתב את ‎-x^{2}+5x-6 כ- ‎\left(-x^{2}+3x\right)+\left(2x-6\right).

$$\left(-x^{2}+3x\right)+\left(2x-6\right)$$

הוצא את הגורם המשותף -x בקבוצה הראשונה ואת 2 בקבוצה השניה.

$$-x\left(x-3\right)+2\left(x-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-3\right)\left(-x+2\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-3=0 ו- -x+2=0.

$$x=3 x=2$$

המשתנה x חייב להיות שווה ל- ‎2.

$$x=3$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

המשתנה x אינו יכול להיות שווה לאף אחד מהערכים -6,-4,2 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- \left(x-2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right), הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של x^{2}+2x-8,x^{2}+4x-12,x^{2}+10x+24.

$$\left(x+6\right)\times 3-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x+6 ב- 3.

$$3x+18-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x+4 ב- 4.

$$3x+18-\left(4x+16\right)=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎4x+16, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$3x+18-4x-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

כנס את ‎3x ו- ‎-4x כדי לקבל ‎-x.

$$-x+18-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

החסר את 16 מ- 18 כדי לקבל 2.

$$-x+2=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x-2 ב- x-4 ולכנס איברים דומים.

$$-x+2=x^{2}-6x+8$$

החסר ‎x^{2} משני האגפים.

$$-x+2-x^{2}=-6x+8$$

הוסף ‎6x משני הצדדים.

$$-x+2-x^{2}+6x=8$$

כנס את ‎-x ו- ‎6x כדי לקבל ‎5x.

$$5x+2-x^{2}=8$$

החסר ‎8 משני האגפים.

$$5x+2-x^{2}-8=0$$

החסר את 8 מ- 2 כדי לקבל -6.

$$5x-6-x^{2}=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-x^{2}+5x-6=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -1 במקום a, ב- 5 במקום b, וב- -6 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\left(-6\right)}}{2\left(-1\right)}$$

‎5 בריבוע.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\left(-6\right)}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+4\left(-6\right)}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2\left(-1\right)}$$

הוסף את ‎25 ל- ‎-24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2\left(-1\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1.

$$x=\frac{-5±1}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-5±1}{-2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-5±1}{-2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-5 ל- ‎1.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

חלק את ‎-4 ב- ‎-2.

$$x=2$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-5±1}{-2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎1 מ- ‎-5.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

חלק את ‎-6 ב- ‎-2.

$$x=3$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=2 x=3$$

המשתנה x חייב להיות שווה ל- ‎2.

$$x=3$$

שלבים להשלמת הריבוע

המשתנה x אינו יכול להיות שווה לאף אחד מהערכים -6,-4,2 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- \left(x-2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right), הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של x^{2}+2x-8,x^{2}+4x-12,x^{2}+10x+24.

$$\left(x+6\right)\times 3-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x+6 ב- 3.

$$3x+18-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x+4 ב- 4.

$$3x+18-\left(4x+16\right)=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎4x+16, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$3x+18-4x-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

כנס את ‎3x ו- ‎-4x כדי לקבל ‎-x.

$$-x+18-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

החסר את 16 מ- 18 כדי לקבל 2.

$$-x+2=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x-2 ב- x-4 ולכנס איברים דומים.

$$-x+2=x^{2}-6x+8$$

החסר ‎x^{2} משני האגפים.

$$-x+2-x^{2}=-6x+8$$

הוסף ‎6x משני הצדדים.

$$-x+2-x^{2}+6x=8$$

כנס את ‎-x ו- ‎6x כדי לקבל ‎5x.

$$5x+2-x^{2}=8$$

החסר ‎2 משני האגפים.

$$5x-x^{2}=8-2$$

החסר את 2 מ- 8 כדי לקבל 6.

$$5x-x^{2}=6$$

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+5x=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$\frac{-x^{2}+5x}{-1}=\frac{6}{-1}$$

חילוק ב- ‎-1 מבטל את ההכפלה ב- ‎-1.

$$x^{2}+\frac{5}{-1}x=\frac{6}{-1}$$

חלק את ‎5 ב- ‎-1.

$$x^{2}-5x=\frac{6}{-1}$$

חלק את ‎6 ב- ‎-1.

$$x^{2}-5x=-6$$

חלק את ‎-5, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{5}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{5}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-6+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{5}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-6+\frac{25}{4}$$

הוסף את ‎-6 ל- ‎\frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{1}{4}$$

פרק x^{2}-5x+\frac{25}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

פשט.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}$$

הוסף ‎\frac{5}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=3 x=2$$

המשתנה x חייב להיות שווה ל- ‎2.

$$x=3$$