פתור את 2x/x^2-100=2/15

$$\frac { 2 x } { x ^ { 2 } - 100 } = \frac { 2 } { 15 }$$

פתור עבור x

$$x=-5$$

$$x=20$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

המשתנה x אינו יכול להיות שווה לאף אחד מהערכים -10,10 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 15\left(x-10\right)\left(x+10\right), הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של x^{2}-100,15.

$$15\times 2x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

הכפל את ‎15 ו- ‎2 כדי לקבל ‎30.

$$30x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x-10.

$$30x=\left(2x-20\right)\left(x+10\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2x-20 ב- x+10 ולכנס איברים דומים.

$$30x=2x^{2}-200$$

החסר ‎2x^{2} משני האגפים.

$$30x-2x^{2}=-200$$

הוסף ‎200 משני הצדדים.

$$30x-2x^{2}+200=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$15x-x^{2}+100=0$$

סדר מחדש את הפולינום כדי להעביר אותה לצורה סטנדרטית. מקם את האיברים לפי הסדר מהחזקה הגבוהה ביותר לנמוכה ביותר.

$$-x^{2}+15x+100=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- -x^{2}+ax+bx+100. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=15 ab=-100=-100$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -100.

$$-1,100 -2,50 -4,25 -5,20 -10,10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+100=99 -2+50=48 -4+25=21 -5+20=15 -10+10=0$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 15.

$$a=20 b=-5$$

שכתב את ‎-x^{2}+15x+100 כ- ‎\left(-x^{2}+20x\right)+\left(-5x+100\right).

$$\left(-x^{2}+20x\right)+\left(-5x+100\right)$$

הוצא את הגורם המשותף -x בקבוצה הראשונה ואת -5 בקבוצה השניה.

$$-x\left(x-20\right)-5\left(x-20\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-20 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-20\right)\left(-x-5\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-20=0 ו- -x-5=0.

$$x=20 x=-5$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

המשתנה x אינו יכול להיות שווה לאף אחד מהערכים -10,10 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 15\left(x-10\right)\left(x+10\right), הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של x^{2}-100,15.

$$15\times 2x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

הכפל את ‎15 ו- ‎2 כדי לקבל ‎30.

$$30x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x-10.

$$30x=\left(2x-20\right)\left(x+10\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2x-20 ב- x+10 ולכנס איברים דומים.

$$30x=2x^{2}-200$$

החסר ‎2x^{2} משני האגפים.

$$30x-2x^{2}=-200$$

הוסף ‎200 משני הצדדים.

$$30x-2x^{2}+200=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-2x^{2}+30x+200=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -2 במקום a, ב- 30 במקום b, וב- 200 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\left(-2\right)\times 200}}{2\left(-2\right)}$$

‎30 בריבוע.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\left(-2\right)\times 200}}{2\left(-2\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-2.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+8\times 200}}{2\left(-2\right)}$$

הכפל את ‎8 ב- ‎200.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+1600}}{2\left(-2\right)}$$

הוסף את ‎900 ל- ‎1600.

$$x=\frac{-30±\sqrt{2500}}{2\left(-2\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 2500.

$$x=\frac{-30±50}{2\left(-2\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-2.

$$x=\frac{-30±50}{-4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-30±50}{-4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-30 ל- ‎50.

$$x=\frac{20}{-4}$$

חלק את ‎20 ב- ‎-4.

$$x=-5$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-30±50}{-4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎50 מ- ‎-30.

$$x=-\frac{80}{-4}$$

חלק את ‎-80 ב- ‎-4.

$$x=20$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=-5 x=20$$

שלבים להשלמת הריבוע

המשתנה x אינו יכול להיות שווה לאף אחד מהערכים -10,10 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 15\left(x-10\right)\left(x+10\right), הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של x^{2}-100,15.

$$15\times 2x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

הכפל את ‎15 ו- ‎2 כדי לקבל ‎30.

$$30x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x-10.

$$30x=\left(2x-20\right)\left(x+10\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2x-20 ב- x+10 ולכנס איברים דומים.

$$30x=2x^{2}-200$$

החסר ‎2x^{2} משני האגפים.

$$30x-2x^{2}=-200$$

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+30x=-200$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$\frac{-2x^{2}+30x}{-2}=-\frac{200}{-2}$$

חילוק ב- ‎-2 מבטל את ההכפלה ב- ‎-2.

$$x^{2}+\frac{30}{-2}x=-\frac{200}{-2}$$

חלק את ‎30 ב- ‎-2.

$$x^{2}-15x=-\frac{200}{-2}$$

חלק את ‎-200 ב- ‎-2.

$$x^{2}-15x=100$$

חלק את ‎-15, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{15}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{15}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=100+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{15}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=100+\frac{225}{4}$$

הוסף את ‎100 ל- ‎\frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{625}{4}$$

פרק x^{2}-15x+\frac{225}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{625}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{4}}$$

פשט.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{25}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{25}{2}$$

הוסף ‎\frac{15}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=20 x=-5$$