פתור את 2r/r^2-1-1/r+1

$$\frac { 2 r } { r ^ { 2 } - 1 } - \frac { 1 } { r + 1 }$$

הערך

$$\frac{1}{r-1}$$

שלבי פתרון קצר

פרק את r^{2}-1 לגורמים.

$$\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{1}{r+1}$$

כדי לחבר או להחסיר ביטויים, הרחב אותם כדי ליצור עבורם מכנה זהה. המכפלה המשותפת הקטנה ביותר של ‎\left(r-1\right)\left(r+1\right) ו- ‎r+1 היא \left(r-1\right)\left(r+1\right). הכפל את ‎\frac{1}{r+1} ב- ‎\frac{r-1}{r-1}.

$$\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

מכיוון ש- \frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)} ו- \frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)} כוללים מכנה זהה, חסר אותם על-ידי חיסור המונים שלהם.

$$\frac{2r-\left(r-1\right)}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

בצע את פעולות הכפל ב- ‎2r-\left(r-1\right).

$$\frac{2r-r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

כינוס איברים דומים ב- 2r-r+1.

$$\frac{r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

ביטול ‎r+1 גם במונה וגם במכנה.

$$\frac{1}{r-1}$$

גזור ביחס ל- ‎r

$$-\frac{1}{\left(r-1\right)^{2}}$$

שלבים הכוללים שימוש בכלל השרשרת

פרק את r^{2}-1 לגורמים.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{1}{r+1})$$

כדי לחבר או להחסיר ביטויים, הרחב אותם כדי ליצור עבורם מכנה זהה. המכפלה המשותפת הקטנה ביותר של ‎\left(r-1\right)\left(r+1\right) ו- ‎r+1 היא \left(r-1\right)\left(r+1\right). הכפל את ‎\frac{1}{r+1} ב- ‎\frac{r-1}{r-1}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

מכיוון ש- \frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)} ו- \frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)} כוללים מכנה זהה, חסר אותם על-ידי חיסור המונים שלהם.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r-\left(r-1\right)}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

בצע את פעולות הכפל ב- ‎2r-\left(r-1\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r-r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

כינוס איברים דומים ב- 2r-r+1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

ביטול ‎r+1 גם במונה וגם במכנה.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{1}{r-1})$$

אם F הוא הקומפוזיציה של שתי פונקציות גזירות, f\left(u\right) ו- u=g\left(x\right), כלומר, אם F\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right), אזי הנגזרת של F הוא הנגזרת של f ביחס ל- u כפול הנגזרת של g ביחס ל- x, כלומר, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(F)\left(x\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)\left(g\left(x\right)\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(g)\left(x\right).

$$-\left(r^{1}-1\right)^{-1-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(r^{1}-1)$$

הנגזרת של פולינום היא סכום הנגזרות של האיברים שלו. הנגזרת של איבר קבוע היא 0. הנגזרת של ax^{n} היא nax^{n-1}.

$$-\left(r^{1}-1\right)^{-2}r^{1-1}$$

פשט.

$$-r^{0}\left(r^{1}-1\right)^{-2}$$

עבור כל איבר t,‏ t^{1}=t.

$$-r^{0}\left(r-1\right)^{-2}$$

עבור כל איבר t מלבד 0,‏ t^{0}=1.

$$-\left(r-1\right)^{-2}$$