פתור את 2n^2-n-1/2(n+1)-2(n-1)^2-(n-1)-1/2n

$$\frac { 2 n ^ { 2 } - n - 1 } { 2 ( n + 1 ) } - \frac { 2 ( n - 1 ) ^ { 2 } - ( n - 1 ) - 1 } { 2 n }$$

הערך

$$\frac{n^{2}+n-1}{n\left(n+1\right)}$$

שלבי פתרון קצר

כדי לחבר או להחסיר ביטויים, הרחב אותם כדי ליצור עבורם מכנה זהה. המכפלה המשותפת הקטנה ביותר של ‎2\left(n+1\right) ו- ‎2n היא 2n\left(n+1\right). הכפל את ‎\frac{2n^{2}-n-1}{2\left(n+1\right)} ב- ‎\frac{n}{n}. הכפל את ‎\frac{2\left(n-1\right)^{2}-\left(n-1\right)-1}{2n} ב- ‎\frac{n+1}{n+1}.

$$\frac{\left(2n^{2}-n-1\right)n}{2n\left(n+1\right)}-\frac{\left(2\left(n-1\right)^{2}-\left(n-1\right)-1\right)\left(n+1\right)}{2n\left(n+1\right)}$$

מכיוון ש- \frac{\left(2n^{2}-n-1\right)n}{2n\left(n+1\right)} ו- \frac{\left(2\left(n-1\right)^{2}-\left(n-1\right)-1\right)\left(n+1\right)}{2n\left(n+1\right)} כוללים מכנה זהה, חסר אותם על-ידי חיסור המונים שלהם.

$$\frac{\left(2n^{2}-n-1\right)n-\left(2\left(n-1\right)^{2}-\left(n-1\right)-1\right)\left(n+1\right)}{2n\left(n+1\right)}$$

בצע את פעולות הכפל ב- ‎\left(2n^{2}-n-1\right)n-\left(2\left(n-1\right)^{2}-\left(n-1\right)-1\right)\left(n+1\right).

$$\frac{2n^{3}-n^{2}-n-2n^{3}+2n^{2}+2n-2+n^{2}-1+n+1}{2n\left(n+1\right)}$$

כינוס איברים דומים ב- 2n^{3}-n^{2}-n-2n^{3}+2n^{2}+2n-2+n^{2}-1+n+1.

$$\frac{2n^{2}+2n-2}{2n\left(n+1\right)}$$

פרק לגורמים את הביטויים שלא פורקו כבר לגורמים ב- \frac{2n^{2}+2n-2}{2n\left(n+1\right)}.

$$\frac{2\left(n-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(n-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)}{2n\left(n+1\right)}$$

ביטול ‎2 גם במונה וגם במכנה.

$$\frac{\left(n-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(n-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)}{n\left(n+1\right)}$$

פיתוח ‎n\left(n+1\right).

$$\frac{\left(n-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(n-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)}{n^{2}+n}$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$\frac{\left(n+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(n-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)}{n^{2}+n}$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$\frac{\left(n+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(n-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)}{n^{2}+n}$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את n+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2} ב- n-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2} ולכנס איברים דומים.

$$\frac{n^{2}+n-\frac{1}{4}\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\frac{1}{4}}{n^{2}+n}$$

הריבוע של ‎\sqrt{5} הוא ‎5.

$$\frac{n^{2}+n-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}}{n^{2}+n}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{4} ו- ‎5 כדי לקבל ‎-\frac{5}{4}.

$$\frac{n^{2}+n-\frac{5}{4}+\frac{1}{4}}{n^{2}+n}$$

חבר את ‎-\frac{5}{4} ו- ‎\frac{1}{4} כדי לקבל ‎-1.

$$\frac{n^{2}+n-1}{n^{2}+n}$$

הרחב

$$\frac{n^{2}+n-1}{n\left(n+1\right)}$$

שלבי פתרון קצר

כדי לחבר או להחסיר ביטויים, הרחב אותם כדי ליצור עבורם מכנה זהה. המכפלה המשותפת הקטנה ביותר של ‎2\left(n+1\right) ו- ‎2n היא 2n\left(n+1\right). הכפל את ‎\frac{2n^{2}-n-1}{2\left(n+1\right)} ב- ‎\frac{n}{n}. הכפל את ‎\frac{2\left(n-1\right)^{2}-\left(n-1\right)-1}{2n} ב- ‎\frac{n+1}{n+1}.

$$\frac{\left(2n^{2}-n-1\right)n}{2n\left(n+1\right)}-\frac{\left(2\left(n-1\right)^{2}-\left(n-1\right)-1\right)\left(n+1\right)}{2n\left(n+1\right)}$$

מכיוון ש- \frac{\left(2n^{2}-n-1\right)n}{2n\left(n+1\right)} ו- \frac{\left(2\left(n-1\right)^{2}-\left(n-1\right)-1\right)\left(n+1\right)}{2n\left(n+1\right)} כוללים מכנה זהה, חסר אותם על-ידי חיסור המונים שלהם.

$$\frac{\left(2n^{2}-n-1\right)n-\left(2\left(n-1\right)^{2}-\left(n-1\right)-1\right)\left(n+1\right)}{2n\left(n+1\right)}$$

בצע את פעולות הכפל ב- ‎\left(2n^{2}-n-1\right)n-\left(2\left(n-1\right)^{2}-\left(n-1\right)-1\right)\left(n+1\right).

$$\frac{2n^{3}-n^{2}-n-2n^{3}+2n^{2}+2n-2+n^{2}-1+n+1}{2n\left(n+1\right)}$$

כינוס איברים דומים ב- 2n^{3}-n^{2}-n-2n^{3}+2n^{2}+2n-2+n^{2}-1+n+1.

$$\frac{2n^{2}+2n-2}{2n\left(n+1\right)}$$

פרק לגורמים את הביטויים שלא פורקו כבר לגורמים ב- \frac{2n^{2}+2n-2}{2n\left(n+1\right)}.

$$\frac{2\left(n-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(n-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)}{2n\left(n+1\right)}$$

ביטול ‎2 גם במונה וגם במכנה.

$$\frac{\left(n-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(n-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)}{n\left(n+1\right)}$$

פיתוח ‎n\left(n+1\right).

$$\frac{\left(n-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(n-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)}{n^{2}+n}$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$\frac{\left(n+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(n-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)}{n^{2}+n}$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$\frac{\left(n+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(n-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)}{n^{2}+n}$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את n+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2} ב- n-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2} ולכנס איברים דומים.

$$\frac{n^{2}+n-\frac{1}{4}\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\frac{1}{4}}{n^{2}+n}$$

הריבוע של ‎\sqrt{5} הוא ‎5.

$$\frac{n^{2}+n-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}}{n^{2}+n}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{4} ו- ‎5 כדי לקבל ‎-\frac{5}{4}.

$$\frac{n^{2}+n-\frac{5}{4}+\frac{1}{4}}{n^{2}+n}$$

חבר את ‎-\frac{5}{4} ו- ‎\frac{1}{4} כדי לקבל ‎-1.

$$\frac{n^{2}+n-1}{n^{2}+n}$$