פתור את 2mn/m^3+n^3+2m/m^2-n^2-1/m-n

$$\frac { 2 m n } { m ^ { 3 } + n ^ { 3 } } + \frac { 2 m } { m ^ { 2 } - n ^ { 2 } } - \frac { 1 } { m - n }$$

הערך

$$\frac{m^{2}+mn+n^{2}}{m^{3}+n^{3}}$$

שלבי פתרון קצר

פרק את m^{3}+n^{3} לגורמים. פרק את m^{2}-n^{2} לגורמים.

$$\frac{2mn}{\left(m+n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}+\frac{2m}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)}-\frac{1}{m-n}$$

כדי לחבר או להחסיר ביטויים, הרחב אותם כדי ליצור עבורם מכנה זהה. המכפלה המשותפת הקטנה ביותר של ‎\left(m+n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right) ו- ‎\left(m+n\right)\left(m-n\right) היא \left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right). הכפל את ‎\frac{2mn}{\left(m+n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)} ב- ‎\frac{m-n}{m-n}. הכפל את ‎\frac{2m}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)} ב- ‎\frac{m^{2}-mn+n^{2}}{m^{2}-mn+n^{2}}.

$$\frac{2mn\left(m-n\right)}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}+\frac{2m\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}-\frac{1}{m-n}$$

מכיוון ש- \frac{2mn\left(m-n\right)}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)} ו- \frac{2m\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)} כוללים מכנה זהה, חבר אותם על-ידי חיבור המונים שלהם.

$$\frac{2mn\left(m-n\right)+2m\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}-\frac{1}{m-n}$$

בצע את פעולות הכפל ב- ‎2mn\left(m-n\right)+2m\left(m^{2}-mn+n^{2}\right).

$$\frac{2m^{2}n-2mn^{2}+2m^{3}-2m^{2}n+2mn^{2}}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}-\frac{1}{m-n}$$

כינוס איברים דומים ב- 2m^{2}n-2mn^{2}+2m^{3}-2m^{2}n+2mn^{2}.

$$\frac{2m^{3}}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}-\frac{1}{m-n}$$

כדי לחבר או להחסיר ביטויים, הרחב אותם כדי ליצור עבורם מכנה זהה. המכפלה המשותפת הקטנה ביותר של ‎\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right) ו- ‎m-n היא \left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right). הכפל את ‎\frac{1}{m-n} ב- ‎\frac{\left(m+n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}{\left(m+n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}.

$$\frac{2m^{3}}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}-\frac{\left(m+n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}$$

מכיוון ש- \frac{2m^{3}}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)} ו- \frac{\left(m+n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)} כוללים מכנה זהה, חסר אותם על-ידי חיסור המונים שלהם.

$$\frac{2m^{3}-\left(m+n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}$$

בצע את פעולות הכפל ב- ‎2m^{3}-\left(m+n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right).

$$\frac{2m^{3}-m^{3}+m^{2}n-mn^{2}-nm^{2}+n^{2}m-n^{3}}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}$$

כינוס איברים דומים ב- 2m^{3}-m^{3}+m^{2}n-mn^{2}-nm^{2}+n^{2}m-n^{3}.

$$\frac{m^{3}-n^{3}}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}$$

פרק לגורמים את הביטויים שלא פורקו כבר לגורמים ב- \frac{m^{3}-n^{3}}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}.

$$\frac{\left(m-n\right)\left(m^{2}+mn+n^{2}\right)}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}$$

ביטול ‎m-n גם במונה וגם במכנה.

$$\frac{m^{2}+mn+n^{2}}{\left(m+n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right)}$$

פיתוח ‎\left(m+n\right)\left(m^{2}-mn+n^{2}\right).

$$\frac{m^{2}+mn+n^{2}}{m^{3}+n^{3}}$$

גזור ביחס ל- ‎m

$$\frac{-m^{4}+2mn^{3}+n^{4}-2nm^{3}-3\left(mn\right)^{2}}{\left(m^{3}+n^{3}\right)^{2}}$$