פתור את 2/sqrt{2-2}+frac{sqrt{2}+1}{sqrt{2}-1}-frac{sqrt{32}}{2}

$$\frac { 2 } { \sqrt { 2 } - 2 } + \frac { \sqrt { 2 } + 1 } { \sqrt { 2 } - 1 } - \frac { \sqrt { 32 } } { 2 }$$

הערך

$$1-\sqrt{2}\approx -0.414213562$$

שלבי פתרון

הפוך את המכנה של ‎\frac{2}{\sqrt{2}-2} לרציונלי על-ידי הכפלת המונה והמכנה ב- ‎\sqrt{2}+2.

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+2\right)}{\left(\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{2}+2\right)}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

שקול את \left(\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{2}+2\right). ניתן להמיר כפל להפרשי הריבועים באמצעות הכלל: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+2\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

‎\sqrt{2} בריבוע. ‎2 בריבוע.

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+2\right)}{2-4}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

החסר את 4 מ- 2 כדי לקבל -2.

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+2\right)}{-2}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

ביטול ‎-2 ו- ‎-2.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

הפוך את המכנה של ‎\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} לרציונלי על-ידי הכפלת המונה והמכנה ב- ‎\sqrt{2}+1.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

שקול את \left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right). ניתן להמיר כפל להפרשי הריבועים באמצעות הכלל: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1^{2}}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

‎\sqrt{2} בריבוע. ‎1 בריבוע.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{2-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

החסר את 1 מ- 2 כדי לקבל 1.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

התוצאה של כל מספר המחולק באחד היא המספר עצמו.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

הכפל את ‎\sqrt{2}+1 ו- ‎\sqrt{2}+1 כדי לקבל ‎\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

פרק את 32=4^{2}\times 2 לגורמים. שכתב את השורש הריבועי של \sqrt{4^{2}\times 2} המוצר בתור המכפלה של \sqrt{4^{2}}\sqrt{2} ריבועיים הריבועי. הוצא את השורש הריבועי של 4^{2}.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-\frac{4\sqrt{2}}{2}$$

חלק את ‎4\sqrt{2} ב- ‎2 כדי לקבל ‎2\sqrt{2}.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\sqrt{2}$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎\sqrt{2}+2, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$-\sqrt{2}-2+\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\sqrt{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}.

$$-\sqrt{2}-2+\left(\sqrt{2}\right)^{2}+2\sqrt{2}+1-2\sqrt{2}$$

הריבוע של ‎\sqrt{2} הוא ‎2.

$$-\sqrt{2}-2+2+2\sqrt{2}+1-2\sqrt{2}$$

חבר את ‎2 ו- ‎1 כדי לקבל ‎3.

$$-\sqrt{2}-2+3+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}$$

חבר את ‎-2 ו- ‎3 כדי לקבל ‎1.

$$-\sqrt{2}+1+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}$$

כנס את ‎-\sqrt{2} ו- ‎2\sqrt{2} כדי לקבל ‎\sqrt{2}.

$$\sqrt{2}+1-2\sqrt{2}$$

כנס את ‎\sqrt{2} ו- ‎-2\sqrt{2} כדי לקבל ‎-\sqrt{2}.

$$-\sqrt{2}+1$$

פרק לגורמים

$$1-\sqrt{2}$$