פתור את frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}

$$\frac { 2 + \sqrt { 5 } } { 2 - \sqrt { 5 } }$$

הערך

$$-4\sqrt{5}-9\approx -17.94427191$$

שלבי פתרון

הפוך את המכנה של ‎\frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} לרציונלי על-ידי הכפלת המונה והמכנה ב- ‎2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}$$

שקול את \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). ניתן להמיר כפל להפרשי הריבועים באמצעות הכלל: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

‎2 בריבוע. ‎\sqrt{5} בריבוע.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}$$

החסר את 5 מ- 4 כדי לקבל -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}$$

הכפל את ‎2+\sqrt{5} ו- ‎2+\sqrt{5} כדי לקבל ‎\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

הריבוע של ‎\sqrt{5} הוא ‎5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}$$

חבר את ‎4 ו- ‎5 כדי לקבל ‎9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}$$

התוצאה של כל מספר המחולק ב- ‎-1 היא ההופכי שלו. כדי למצוא את ההופכי של ‎9+4\sqrt{5}, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$-9-4\sqrt{5}$$