פתור את frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}=a+bsqrt{3}

$$\frac { 2 + \sqrt { 3 } } { 2 - \sqrt { 3 } } = a + b \sqrt { 3 }$$

פתור עבור b

$$b=-\frac{\sqrt{3}\left(a-4\sqrt{3}-7\right)}{3}$$

שלבים לפתרון משוואה ליניארית

הפוך את המכנה של ‎\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} לרציונלי על-ידי הכפלת המונה והמכנה ב- ‎2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}=a+b\sqrt{3}$$

שקול את \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). ניתן להמיר כפל להפרשי הריבועים באמצעות הכלל: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

‎2 בריבוע. ‎\sqrt{3} בריבוע.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}=a+b\sqrt{3}$$

החסר את 3 מ- 4 כדי לקבל 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}=a+b\sqrt{3}$$

התוצאה של כל מספר המחולק באחד היא המספר עצמו.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=a+b\sqrt{3}$$

הכפל את ‎2+\sqrt{3} ו- ‎2+\sqrt{3} כדי לקבל ‎\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

הריבוע של ‎\sqrt{3} הוא ‎3.

$$4+4\sqrt{3}+3=a+b\sqrt{3}$$

חבר את ‎4 ו- ‎3 כדי לקבל ‎7.

$$7+4\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$$

החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$a+b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}$$

החסר ‎a משני האגפים.

$$b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}-a$$

המשוואה היא בעלת צורה סטנדרטית.

$$\sqrt{3}b=-a+4\sqrt{3}+7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎\sqrt{3}.

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

חילוק ב- ‎\sqrt{3} מבטל את ההכפלה ב- ‎\sqrt{3}.

$$b=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

חלק את ‎4\sqrt{3}-a+7 ב- ‎\sqrt{3}.

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+4\sqrt{3}+7\right)}{3}$$

פתור עבור a

$$a=-\sqrt{3}b+4\sqrt{3}+7$$