פתור את 1/x-2-4/x^2-4=1

$$\frac { 1 } { x - 2 } - \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 4 } = 1$$

פתור עבור x

$$x=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

המשתנה x אינו יכול להיות שווה לאף אחד מהערכים -2,2 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- \left(x-2\right)\left(x+2\right), הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של x-2,x^{2}-4.

$$x+2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

החסר את 4 מ- 2 כדי לקבל -2.

$$x-2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

שקול את \left(x-2\right)\left(x+2\right). ניתן להמיר כפל להפרשי הריבועים באמצעות הכלל: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. ‎2 בריבוע.

$$x-2=x^{2}-4$$

החסר ‎x^{2} משני האגפים.

$$x-2-x^{2}=-4$$

הוסף ‎4 משני הצדדים.

$$x-2-x^{2}+4=0$$

חבר את ‎-2 ו- ‎4 כדי לקבל ‎2.

$$x+2-x^{2}=0$$

סדר מחדש את הפולינום כדי להעביר אותה לצורה סטנדרטית. מקם את האיברים לפי הסדר מהחזקה הגבוהה ביותר לנמוכה ביותר.

$$-x^{2}+x+2=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- -x^{2}+ax+bx+2. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=1 ab=-2=-2$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. הצמד היחיד מסוג זה הוא פתרון המערכת.

$$a=2 b=-1$$

שכתב את ‎-x^{2}+x+2 כ- ‎\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-x+2\right)$$

הוצא את הגורם המשותף -x בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$-x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-2\right)\left(-x-1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-2=0 ו- -x-1=0.

$$x=2 x=-1$$

המשתנה x חייב להיות שווה ל- ‎2.

$$x=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

המשתנה x אינו יכול להיות שווה לאף אחד מהערכים -2,2 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- \left(x-2\right)\left(x+2\right), הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של x-2,x^{2}-4.

$$x+2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

החסר את 4 מ- 2 כדי לקבל -2.

$$x-2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

שקול את \left(x-2\right)\left(x+2\right). ניתן להמיר כפל להפרשי הריבועים באמצעות הכלל: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. ‎2 בריבוע.

$$x-2=x^{2}-4$$

החסר ‎x^{2} משני האגפים.

$$x-2-x^{2}=-4$$

הוסף ‎4 משני הצדדים.

$$x-2-x^{2}+4=0$$

חבר את ‎-2 ו- ‎4 כדי לקבל ‎2.

$$x+2-x^{2}=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-x^{2}+x+2=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -1 במקום a, ב- 1 במקום b, וב- 2 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

‎1 בריבוע.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+8}}{2\left(-1\right)}$$

הוסף את ‎1 ל- ‎8.

$$x=\frac{-1±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 9.

$$x=\frac{-1±3}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-1±3}{-2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-1±3}{-2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-1 ל- ‎3.

$$x=\frac{2}{-2}$$

חלק את ‎2 ב- ‎-2.

$$x=-1$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-1±3}{-2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎3 מ- ‎-1.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

חלק את ‎-4 ב- ‎-2.

$$x=2$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=-1 x=2$$

המשתנה x חייב להיות שווה ל- ‎2.

$$x=-1$$

שלבים להשלמת הריבוע

המשתנה x אינו יכול להיות שווה לאף אחד מהערכים -2,2 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- \left(x-2\right)\left(x+2\right), הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של x-2,x^{2}-4.

$$x+2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

החסר את 4 מ- 2 כדי לקבל -2.

$$x-2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

שקול את \left(x-2\right)\left(x+2\right). ניתן להמיר כפל להפרשי הריבועים באמצעות הכלל: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. ‎2 בריבוע.

$$x-2=x^{2}-4$$

החסר ‎x^{2} משני האגפים.

$$x-2-x^{2}=-4$$

הוסף ‎2 משני הצדדים.

$$x-x^{2}=-4+2$$

חבר את ‎-4 ו- ‎2 כדי לקבל ‎-2.

$$x-x^{2}=-2$$

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+x=-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{2}{-1}$$

חילוק ב- ‎-1 מבטל את ההכפלה ב- ‎-1.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{2}{-1}$$

חלק את ‎1 ב- ‎-1.

$$x^{2}-x=-\frac{2}{-1}$$

חלק את ‎-2 ב- ‎-1.

$$x^{2}-x=2$$

חלק את ‎-1, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

הוסף את ‎2 ל- ‎\frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

פרק x^{2}-x+\frac{1}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

פשט.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

הוסף ‎\frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=2 x=-1$$

המשתנה x חייב להיות שווה ל- ‎2.

$$x=-1$$