פתור את 1/x^2+x-2+1/x^2+7x+10+1/x^2+13x+40=1/3x-3-frac{1}{21}

$$\frac { 1 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 7 x + 10 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 13 x + 40 } = \frac { 1 } { 3 x - 3 } - \frac { 1 } { 21 }$$

פתור עבור x

$$x=-1$$

שלבי פתרון

המשתנה x אינו יכול להיות שווה לאף אחד מהערכים -8,-5,-2,1 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right), הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של x^{2}+x-2,x^{2}+7x+10,x^{2}+13x+40,3x-3,21.

$$21\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 21 ב- x+5.

$$\left(21x+105\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 21x+105 ב- x+8 ולכנס איברים דומים.

$$21x^{2}+273x+840+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 21 ב- x-1.

$$21x^{2}+273x+840+\left(21x-21\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 21x-21 ב- x+8 ולכנס איברים דומים.

$$21x^{2}+273x+840+21x^{2}+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

כנס את ‎21x^{2} ו- ‎21x^{2} כדי לקבל ‎42x^{2}.

$$42x^{2}+273x+840+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

כנס את ‎273x ו- ‎147x כדי לקבל ‎420x.

$$42x^{2}+420x+840-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

החסר את 168 מ- 840 כדי לקבל 672.

$$42x^{2}+420x+672+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 21 ב- x+2.

$$42x^{2}+420x+672+\left(21x+42\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 21x+42 ב- x-1 ולכנס איברים דומים.

$$42x^{2}+420x+672+21x^{2}+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

כנס את ‎42x^{2} ו- ‎21x^{2} כדי לקבל ‎63x^{2}.

$$63x^{2}+420x+672+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

כנס את ‎420x ו- ‎21x כדי לקבל ‎441x.

$$63x^{2}+441x+672-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

החסר את 42 מ- 672 כדי לקבל 630.

$$63x^{2}+441x+630=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 7 ב- x+2.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x+14\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 7x+14 ב- x+5 ולכנס איברים דומים.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x^{2}+49x+70\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 7x^{2}+49x+70 ב- x+8 ולכנס איברים דומים.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

הכפל את ‎21 ו- ‎-\frac{1}{21} כדי לקבל ‎-1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -1 ב- x-1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -x+1 ב- x+2 ולכנס איברים דומים.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{2}-x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -x^{2}-x+2 ב- x+5 ולכנס איברים דומים.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{3}-6x^{2}-3x+10\right)\left(x+8\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -x^{3}-6x^{2}-3x+10 ב- x+8 ולכנס איברים דומים.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-14x^{3}-51x^{2}-14x+80$$

כנס את ‎7x^{3} ו- ‎-14x^{3} כדי לקבל ‎-7x^{3}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-51x^{2}-14x+80$$

כנס את ‎105x^{2} ו- ‎-51x^{2} כדי לקבל ‎54x^{2}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+462x+560-x^{4}-14x+80$$

כנס את ‎462x ו- ‎-14x כדי לקבל ‎448x.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+560-x^{4}+80$$

חבר את ‎560 ו- ‎80 כדי לקבל ‎640.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

הוסף ‎7x^{3} משני הצדדים.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}=54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

החסר ‎54x^{2} משני האגפים.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}-54x^{2}=448x+640-x^{4}$$

כנס את ‎63x^{2} ו- ‎-54x^{2} כדי לקבל ‎9x^{2}.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}=448x+640-x^{4}$$

החסר ‎448x משני האגפים.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}-448x=640-x^{4}$$

כנס את ‎441x ו- ‎-448x כדי לקבל ‎-7x.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}=640-x^{4}$$

החסר ‎640 משני האגפים.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}-640=-x^{4}$$

החסר את 640 מ- 630 כדי לקבל -10.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}=-x^{4}$$

הוסף ‎x^{4} משני הצדדים.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}+x^{4}=0$$

סדר מחדש את המשוואה כדי להעביר אותה לצורה סטנדרטית. מקם את האיברים לפי הסדר מהחזקה הגבוהה ביותר לנמוכה ביותר.

$$x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -10 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10 ב- ‎x-1 כדי לקבל ‎x^{3}+8x^{2}+17x+10. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{3}+8x^{2}+17x+10=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 10 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}+8x^{2}+17x+10 ב- ‎x+1 כדי לקבל ‎x^{2}+7x+10. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{2}+7x+10=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎7 ב- b ואת ‎10 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

פתור את המשוואה ‎x^{2}+7x+10=0 כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=-5 x=-2$$

הסר את הערכים שהמשתנה אינו יכול להיות שווה להם.

$$x=-1$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=1 x=-1 x=-5 x=-2$$

המשתנה x אינו יכול להיות שווה לאף אחד מהערכים 1,-5,-2.

$$x=-1$$