פתור את 1/x+1+2/x-1=x^2+2x/x^2-1

$$\frac { 1 } { x + 1 } + \frac { 2 } { x - 1 } = \frac { x ^ { 2 } + 2 x } { x ^ { 2 } - 1 }$$

פתור עבור x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1.618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0.618033989$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

המשתנה x אינו יכול להיות שווה לאף אחד מהערכים -1,1 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- \left(x-1\right)\left(x+1\right), הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של x+1,x-1,x^{2}-1.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x+1 ב- 2.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

כנס את ‎x ו- ‎2x כדי לקבל ‎3x.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

חבר את ‎-1 ו- ‎2 כדי לקבל ‎1.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

החסר ‎x^{2} משני האגפים.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

החסר ‎2x משני האגפים.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

כנס את ‎3x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎x.

$$x+1-x^{2}=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-x^{2}+x+1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -1 במקום a, ב- 1 במקום b, וב- 1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

‎1 בריבוע.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

הוסף את ‎1 ל- ‎4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-1 ל- ‎\sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

חלק את ‎-1+\sqrt{5} ב- ‎-2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎\sqrt{5} מ- ‎-1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

חלק את ‎-1-\sqrt{5} ב- ‎-2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

המשתנה x אינו יכול להיות שווה לאף אחד מהערכים -1,1 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- \left(x-1\right)\left(x+1\right), הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של x+1,x-1,x^{2}-1.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x+1 ב- 2.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

כנס את ‎x ו- ‎2x כדי לקבל ‎3x.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

חבר את ‎-1 ו- ‎2 כדי לקבל ‎1.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

החסר ‎x^{2} משני האגפים.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

החסר ‎2x משני האגפים.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

כנס את ‎3x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎x.

$$x+1-x^{2}=0$$

החסר ‎1 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$x-x^{2}=-1$$

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+x=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

חילוק ב- ‎-1 מבטל את ההכפלה ב- ‎-1.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

חלק את ‎1 ב- ‎-1.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-1}$$

חלק את ‎-1 ב- ‎-1.

$$x^{2}-x=1$$

חלק את ‎-1, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

הוסף את ‎1 ל- ‎\frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

פרק x^{2}-x+\frac{1}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

פשט.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

הוסף ‎\frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$