פתור את 1/3x^2+4/5x=1

$$\frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } + \frac { 4 } { 5 } x = 1$$

פתור עבור x

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5}\approx 0.907130751$$

$$x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}\approx -3.307130751$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x=1$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x-1=1-1$$

החסרת 1 מעצמו נותנת 0.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x-1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- \frac{1}{3} במקום a, ב- \frac{4}{5} במקום b, וב- -1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

העלה את ‎\frac{4}{5} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}-4\times \frac{1}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎\frac{1}{3}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}-\frac{4}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

הכפל את ‎-\frac{4}{3} ב- ‎-1.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}+\frac{4}{3}}}{2\times \frac{1}{3}}$$

הוסף את ‎\frac{16}{25} ל- ‎\frac{4}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{148}{75}}}{2\times \frac{1}{3}}$$

הוצא את השורש הריבועי של \frac{148}{75}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{2\times \frac{1}{3}}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{1}{3}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-\frac{4}{5} ל- ‎\frac{2\sqrt{111}}{15}.

$$x=\frac{\frac{2\sqrt{111}}{15}-\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}}$$

חלק את ‎-\frac{4}{5}+\frac{2\sqrt{111}}{15} ב- ‎\frac{2}{3} על-ידי הכפלת ‎-\frac{4}{5}+\frac{2\sqrt{111}}{15} בהופכי של ‎\frac{2}{3}.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎\frac{2\sqrt{111}}{15} מ- ‎-\frac{4}{5}.

$$x=\frac{-\frac{2\sqrt{111}}{15}-\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}}$$

חלק את ‎-\frac{4}{5}-\frac{2\sqrt{111}}{15} ב- ‎\frac{2}{3} על-ידי הכפלת ‎-\frac{4}{5}-\frac{2\sqrt{111}}{15} בהופכי של ‎\frac{2}{3}.

$$x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5} x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x=1$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎3.

$$\frac{\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

חילוק ב- ‎\frac{1}{3} מבטל את ההכפלה ב- ‎\frac{1}{3}.

$$x^{2}+\frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{3}}x=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

חלק את ‎\frac{4}{5} ב- ‎\frac{1}{3} על-ידי הכפלת ‎\frac{4}{5} בהופכי של ‎\frac{1}{3}.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

חלק את ‎1 ב- ‎\frac{1}{3} על-ידי הכפלת ‎1 בהופכי של ‎\frac{1}{3}.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=3$$

חלק את ‎\frac{12}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{6}{5}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{6}{5} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}=3+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{6}{5} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=3+\frac{36}{25}$$

הוסף את ‎3 ל- ‎\frac{36}{25}.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{111}{25}$$

פרק x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{111}{25}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{111}{25}}$$

פשט.

$$x+\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{111}}{5} x+\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{111}}{5}$$

החסר ‎\frac{6}{5} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5} x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$