פתור את 1/15x^2-3/10x+1/3=0

$$\frac { 1 } { 15 } x ^ { 2 } - \frac { 3 } { 10 } x + \frac { 1 } { 3 } = 0$$

פתור עבור x

$$x=2$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{1}{3}=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- \frac{1}{15} במקום a, ב- -\frac{3}{10} במקום b, וב- \frac{1}{3} במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}-4\times \frac{1}{15}\times \frac{1}{3}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

העלה את ‎-\frac{3}{10} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{9}{100}-4\times \frac{1}{15}\times \frac{1}{3}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎\frac{1}{15}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{9}{100}-\frac{4}{15}\times \frac{1}{3}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

הכפל את ‎-\frac{4}{15} ב- ‎\frac{1}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{9}{100}-\frac{4}{45}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

הוסף את ‎\frac{9}{100} ל- ‎-\frac{4}{45} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{1}{900}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

הוצא את השורש הריבועי של \frac{1}{900}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\frac{1}{30}}{2\times \frac{1}{15}}$$

ההופכי של ‎-\frac{3}{10} הוא ‎\frac{3}{10}.

$$x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{1}{30}}{2\times \frac{1}{15}}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{1}{15}.

$$x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{1}{30}}{\frac{2}{15}}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{1}{30}}{\frac{2}{15}} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎\frac{3}{10} ל- ‎\frac{1}{30} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{15}}$$

חלק את ‎\frac{1}{3} ב- ‎\frac{2}{15} על-ידי הכפלת ‎\frac{1}{3} בהופכי של ‎\frac{2}{15}.

$$x=\frac{5}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{1}{30}}{\frac{2}{15}} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר את \frac{3}{10} מ- \frac{1}{30} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{\frac{4}{15}}{\frac{2}{15}}$$

חלק את ‎\frac{4}{15} ב- ‎\frac{2}{15} על-ידי הכפלת ‎\frac{4}{15} בהופכי של ‎\frac{2}{15}.

$$x=2$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{5}{2} x=2$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{1}{3}=0$$

החסר ‎\frac{1}{3} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}$$

החסרת \frac{1}{3} מעצמו נותנת 0.

$$\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x=-\frac{1}{3}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎15.

$$\frac{\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x}{\frac{1}{15}}=-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{15}}$$

חילוק ב- ‎\frac{1}{15} מבטל את ההכפלה ב- ‎\frac{1}{15}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{3}{10}}{\frac{1}{15}}\right)x=-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{15}}$$

חלק את ‎-\frac{3}{10} ב- ‎\frac{1}{15} על-ידי הכפלת ‎-\frac{3}{10} בהופכי של ‎\frac{1}{15}.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{15}}$$

חלק את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎\frac{1}{15} על-ידי הכפלת ‎-\frac{1}{3} בהופכי של ‎\frac{1}{15}.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-5$$

חלק את ‎-\frac{9}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{9}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{9}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-5+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{9}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-5+\frac{81}{16}$$

הוסף את ‎-5 ל- ‎\frac{81}{16}.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{1}{16}$$

פרק x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

פשט.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{1}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{1}{4}$$

הוסף ‎\frac{9}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{5}{2} x=2$$