פתור את (3+4i)(1+2i)/1+i=

$$\frac { ( 3 + 4 i ) ( 1 + 2 i ) } { 1 + i } =$$

הערך

$$\frac{5}{2}+\frac{15}{2}i=2.5+7.5i$$

שלבי פתרון

הכפל מספרים מרוכבים ‎3+4i ו- ‎1+2i בדומה לאופן הכפלת בינומים.

$$\frac{3\times 1+3\times \left(2i\right)+4i\times 1+4\times 2i^{2}}{1+i}$$

על-פי ההגדרה, i^{2} הוא -1.

$$\frac{3\times 1+3\times \left(2i\right)+4i\times 1+4\times 2\left(-1\right)}{1+i}$$

בצע את פעולות הכפל ב- ‎3\times 1+3\times \left(2i\right)+4i\times 1+4\times 2\left(-1\right).

$$\frac{3+6i+4i-8}{1+i}$$

כנס את החלקים הממשיים והחלקים המדומים ב- ‎3+6i+4i-8.

$$\frac{3-8+\left(6+4\right)i}{1+i}$$

בצע את פעולות החיבור ב- ‎3-8+\left(6+4\right)i.

$$\frac{-5+10i}{1+i}$$

הכפל גם את המונה וגם את המכנה בצמוד המרוכב של המכנה, 1-i.

$$\frac{\left(-5+10i\right)\left(1-i\right)}{\left(1+i\right)\left(1-i\right)}$$

ניתן להמיר כפל להפרשי הריבועים באמצעות הכלל: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(-5+10i\right)\left(1-i\right)}{1^{2}-i^{2}}$$

על-פי ההגדרה, i^{2} הוא -1. חשב את המכנה.

$$\frac{\left(-5+10i\right)\left(1-i\right)}{2}$$

הכפל מספרים מרוכבים ‎-5+10i ו- ‎1-i בדומה לאופן הכפלת בינומים.

$$\frac{-5-5\left(-i\right)+10i\times 1+10\left(-1\right)i^{2}}{2}$$

על-פי ההגדרה, i^{2} הוא -1.

$$\frac{-5-5\left(-i\right)+10i\times 1+10\left(-1\right)\left(-1\right)}{2}$$

בצע את פעולות הכפל ב- ‎-5-5\left(-i\right)+10i\times 1+10\left(-1\right)\left(-1\right).

$$\frac{-5+5i+10i+10}{2}$$

כנס את החלקים הממשיים והחלקים המדומים ב- ‎-5+5i+10i+10.

$$\frac{-5+10+\left(5+10\right)i}{2}$$

בצע את פעולות החיבור ב- ‎-5+10+\left(5+10\right)i.

$$\frac{5+15i}{2}$$

חלק את ‎5+15i ב- ‎2 כדי לקבל ‎\frac{5}{2}+\frac{15}{2}i.

$$\frac{5}{2}+\frac{15}{2}i$$

חלק ממשי

$$\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

שלבי פתרון

הכפל מספרים מרוכבים ‎3+4i ו- ‎1+2i בדומה לאופן הכפלת בינומים.

$$Re(\frac{3\times 1+3\times \left(2i\right)+4i\times 1+4\times 2i^{2}}{1+i})$$

על-פי ההגדרה, i^{2} הוא -1.

$$Re(\frac{3\times 1+3\times \left(2i\right)+4i\times 1+4\times 2\left(-1\right)}{1+i})$$

בצע את פעולות הכפל ב- ‎3\times 1+3\times \left(2i\right)+4i\times 1+4\times 2\left(-1\right).

$$Re(\frac{3+6i+4i-8}{1+i})$$

כנס את החלקים הממשיים והחלקים המדומים ב- ‎3+6i+4i-8.

$$Re(\frac{3-8+\left(6+4\right)i}{1+i})$$

בצע את פעולות החיבור ב- ‎3-8+\left(6+4\right)i.

$$Re(\frac{-5+10i}{1+i})$$

הכפל גם את המונה וגם את המכנה של ‎\frac{-5+10i}{1+i} בצמוד המרוכב של המכנה, ‎1-i.

$$Re(\frac{\left(-5+10i\right)\left(1-i\right)}{\left(1+i\right)\left(1-i\right)})$$

ניתן להמיר כפל להפרשי הריבועים באמצעות הכלל: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$Re(\frac{\left(-5+10i\right)\left(1-i\right)}{1^{2}-i^{2}})$$

על-פי ההגדרה, i^{2} הוא -1. חשב את המכנה.

$$Re(\frac{\left(-5+10i\right)\left(1-i\right)}{2})$$

הכפל מספרים מרוכבים ‎-5+10i ו- ‎1-i בדומה לאופן הכפלת בינומים.

$$Re(\frac{-5-5\left(-i\right)+10i\times 1+10\left(-1\right)i^{2}}{2})$$

על-פי ההגדרה, i^{2} הוא -1.

$$Re(\frac{-5-5\left(-i\right)+10i\times 1+10\left(-1\right)\left(-1\right)}{2})$$

בצע את פעולות הכפל ב- ‎-5-5\left(-i\right)+10i\times 1+10\left(-1\right)\left(-1\right).

$$Re(\frac{-5+5i+10i+10}{2})$$

כנס את החלקים הממשיים והחלקים המדומים ב- ‎-5+5i+10i+10.

$$Re(\frac{-5+10+\left(5+10\right)i}{2})$$

בצע את פעולות החיבור ב- ‎-5+10+\left(5+10\right)i.

$$Re(\frac{5+15i}{2})$$

חלק את ‎5+15i ב- ‎2 כדי לקבל ‎\frac{5}{2}+\frac{15}{2}i.

$$Re(\frac{5}{2}+\frac{15}{2}i)$$

החלק הממשי של ‎\frac{5}{2}+\frac{15}{2}i הוא ‎\frac{5}{2}.

$$\frac{5}{2}$$