פתור את (2a-5)^2/2-(a-3)^2+1/2geqa^2

$$\frac { ( 2 a - 5 ) ^ { 2 } } { 2 } - ( a - 3 ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \geq a ^ { 2 }$$

פתור עבור a

$$a\leq 1$$

שלבי פתרון

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎2. מאחר ש2 הוא חיובי, כיוון אי-השוויון נותר.

$$2\left(\frac{\left(2a-5\right)^{2}}{2}-\left(a-3\right)^{2}\right)+1\geq 2a^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(2a-5\right)^{2}.

$$2\left(\frac{4a^{2}-20a+25}{2}-\left(a-3\right)^{2}\right)+1\geq 2a^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(a-3\right)^{2}.

$$2\left(\frac{4a^{2}-20a+25}{2}-\left(a^{2}-6a+9\right)\right)+1\geq 2a^{2}$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎a^{2}-6a+9, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$2\left(\frac{4a^{2}-20a+25}{2}-a^{2}+6a-9\right)+1\geq 2a^{2}$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- \frac{4a^{2}-20a+25}{2}-a^{2}+6a-9.

$$2\times \frac{4a^{2}-20a+25}{2}-2a^{2}+12a-18+1\geq 2a^{2}$$

בטא את ‎2\times \frac{4a^{2}-20a+25}{2} כשבר אחד.

$$\frac{2\left(4a^{2}-20a+25\right)}{2}-2a^{2}+12a-18+1\geq 2a^{2}$$

ביטול ‎2 ו- ‎2.

$$4a^{2}-20a+25-2a^{2}+12a-18+1\geq 2a^{2}$$

כנס את ‎4a^{2} ו- ‎-2a^{2} כדי לקבל ‎2a^{2}.

$$2a^{2}-20a+25+12a-18+1\geq 2a^{2}$$

כנס את ‎-20a ו- ‎12a כדי לקבל ‎-8a.

$$2a^{2}-8a+25-18+1\geq 2a^{2}$$

החסר את 18 מ- 25 כדי לקבל 7.

$$2a^{2}-8a+7+1\geq 2a^{2}$$

חבר את ‎7 ו- ‎1 כדי לקבל ‎8.

$$2a^{2}-8a+8\geq 2a^{2}$$

החסר ‎2a^{2} משני האגפים.

$$2a^{2}-8a+8-2a^{2}\geq 0$$

כנס את ‎2a^{2} ו- ‎-2a^{2} כדי לקבל ‎0.

$$-8a+8\geq 0$$

החסר ‎8 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$-8a\geq -8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8. מאחר -8 שלילי, כיוון אי-השוויון משתנה.

$$a\leq \frac{-8}{-8}$$

חלק את ‎-8 ב- ‎-8 כדי לקבל ‎1.

$$a\leq 1$$