פתור את frac{sqrt{3}-1}{sqrt{3}+1}=a+bsqrt{3}

$$\frac { \sqrt { 3 } - 1 } { \sqrt { 3 } + 1 } = a + b \sqrt { 3 }$$

פתור עבור b

$$b=-\frac{\sqrt{3}\left(a+\sqrt{3}-2\right)}{3}$$

שלבים לפתרון משוואה ליניארית

הפוך את המכנה של ‎\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} לרציונלי על-ידי הכפלת המונה והמכנה ב- ‎\sqrt{3}-1.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}=a+b\sqrt{3}$$

שקול את \left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right). ניתן להמיר כפל להפרשי הריבועים באמצעות הכלל: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

‎\sqrt{3} בריבוע. ‎1 בריבוע.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}=a+b\sqrt{3}$$

החסר את 1 מ- 3 כדי לקבל 2.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}=a+b\sqrt{3}$$

הכפל את ‎\sqrt{3}-1 ו- ‎\sqrt{3}-1 כדי לקבל ‎\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}{2}=a+b\sqrt{3}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}+1}{2}=a+b\sqrt{3}$$

הריבוע של ‎\sqrt{3} הוא ‎3.

$$\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2}=a+b\sqrt{3}$$

חבר את ‎3 ו- ‎1 כדי לקבל ‎4.

$$\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=a+b\sqrt{3}$$

חלק כל איבר של ‎4-2\sqrt{3} ב- ‎2 כדי לקבל ‎2-\sqrt{3}.

$$2-\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$$

החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$a+b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$$

החסר ‎a משני האגפים.

$$b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}-a$$

המשוואה היא בעלת צורה סטנדרטית.

$$\sqrt{3}b=-a+2-\sqrt{3}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎\sqrt{3}.

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

חילוק ב- ‎\sqrt{3} מבטל את ההכפלה ב- ‎\sqrt{3}.

$$b=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

חלק את ‎-\sqrt{3}-a+2 ב- ‎\sqrt{3}.

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+2-\sqrt{3}\right)}{3}$$

פתור עבור a

$$a=-\sqrt{3}b+2-\sqrt{3}$$