פתור את frac{sqrt{3}-sqrt{7}}{sqrt{3}+sqrt{7}}

$$\frac { \sqrt { 3 } - \sqrt { 7 } } { \sqrt { 3 } + \sqrt { 7 } }$$

הערך

$$\frac{\sqrt{21}-5}{2}\approx -0.208712153$$

שלבי פתרון

הפוך את המכנה של ‎\frac{\sqrt{3}-\sqrt{7}}{\sqrt{3}+\sqrt{7}} לרציונלי על-ידי הכפלת המונה והמכנה ב- ‎\sqrt{3}-\sqrt{7}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)}$$

שקול את \left(\sqrt{3}+\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right). ניתן להמיר כפל להפרשי הריבועים באמצעות הכלל: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{7}\right)^{2}}$$

‎\sqrt{3} בריבוע. ‎\sqrt{7} בריבוע.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)}{3-7}$$

החסר את 7 מ- 3 כדי לקבל -4.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)}{-4}$$

הכפל את ‎\sqrt{3}-\sqrt{7} ו- ‎\sqrt{3}-\sqrt{7} כדי לקבל ‎\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)^{2}}{-4}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}\sqrt{7}+\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{-4}$$

הריבוע של ‎\sqrt{3} הוא ‎3.

$$\frac{3-2\sqrt{3}\sqrt{7}+\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{-4}$$

כדי להכפיל \sqrt{3} ו\sqrt{7}, הכפל את המספרים תחת השורש הריבועי.

$$\frac{3-2\sqrt{21}+\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{-4}$$

הריבוע של ‎\sqrt{7} הוא ‎7.

$$\frac{3-2\sqrt{21}+7}{-4}$$

חבר את ‎3 ו- ‎7 כדי לקבל ‎10.

$$\frac{10-2\sqrt{21}}{-4}$$