פתור את [1+1/sqrt{2}+1/2][1-1/sqrt{2}+1/2]

$$[ 1 + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } ] [ 1 - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } ]$$

הערך

$$\frac{7}{4}=1.75$$

שלבי פתרון

הפוך את המכנה של ‎\frac{1}{\sqrt{2}} לרציונלי על-ידי הכפלת המונה והמכנה ב- ‎\sqrt{2}.

$$\left(1+\frac{\sqrt{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}}+\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)$$

הריבוע של ‎\sqrt{2} הוא ‎2.

$$\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)$$

המר את ‎1 לשבר ‎\frac{2}{2}.

$$\left(\frac{2}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)$$

מכיוון ש- \frac{2}{2} ו- \frac{1}{2} כוללים מכנה זהה, חבר אותם על-ידי חיבור המונים שלהם.

$$\left(\frac{2+1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)$$

חבר את ‎2 ו- ‎1 כדי לקבל ‎3.

$$\left(\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)$$

מכיוון ש- \frac{3}{2} ו- \frac{\sqrt{2}}{2} כוללים מכנה זהה, חבר אותם על-ידי חיבור המונים שלהם.

$$\frac{3+\sqrt{2}}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)$$

הפוך את המכנה של ‎\frac{1}{\sqrt{2}} לרציונלי על-ידי הכפלת המונה והמכנה ב- ‎\sqrt{2}.

$$\frac{3+\sqrt{2}}{2}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}}+\frac{1}{2}\right)$$

הריבוע של ‎\sqrt{2} הוא ‎2.

$$\frac{3+\sqrt{2}}{2}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\right)$$

המר את ‎1 לשבר ‎\frac{2}{2}.

$$\frac{3+\sqrt{2}}{2}\left(\frac{2}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\right)$$

מכיוון ש- \frac{2}{2} ו- \frac{1}{2} כוללים מכנה זהה, חבר אותם על-ידי חיבור המונים שלהם.

$$\frac{3+\sqrt{2}}{2}\left(\frac{2+1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

חבר את ‎2 ו- ‎1 כדי לקבל ‎3.

$$\frac{3+\sqrt{2}}{2}\left(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

מכיוון ש- \frac{3}{2} ו- \frac{\sqrt{2}}{2} כוללים מכנה זהה, חבר אותם על-ידי חיבור המונים שלהם.

$$\frac{3+\sqrt{2}}{2}\times \frac{3+\sqrt{2}}{2}$$

הכפל את ‎\frac{3+\sqrt{2}}{2} ו- ‎\frac{3+\sqrt{2}}{2} כדי לקבל ‎\left(\frac{3+\sqrt{2}}{2}\right)^{2}.

$$\left(\frac{3+\sqrt{2}}{2}\right)^{2}$$

כדי להעלות את \frac{3+\sqrt{2}}{2} בחזקה, העלה גם המונה וגם את המכנה בחזקה ולאחר מכן בצע חילוק.

$$\frac{\left(3+\sqrt{2}\right)^{2}}{2^{2}}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(3+\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{9+6\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{2^{2}}$$

הריבוע של ‎\sqrt{2} הוא ‎2.

$$\frac{9+6\sqrt{2}+2}{2^{2}}$$

חבר את ‎9 ו- ‎2 כדי לקבל ‎11.

$$\frac{11+6\sqrt{2}}{2^{2}}$$

חשב את 2 בחזקת 2 וקבל 4.

$$\frac{11+6\sqrt{2}}{4}$$

פרק לגורמים

$$\frac{7}{2 ^ {2}} = 1\frac{3}{4} = 1.75$$