פתור את =x^4-x^3-7x^2+x+6

$$= x ^ { 4 } - x ^ { 3 } - 7 x ^ { 2 } + x + 6$$

פרק לגורמים

$$\left(x-3\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

שלבי פתרון

כדי לפרק את הביטוי, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל 0.

$$x^{4}-x^{3}-7x^{2}+x+6=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 6 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±6,±3,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{4}-x^{3}-7x^{2}+x+6 ב- ‎x-1 כדי לקבל ‎x^{3}-7x-6. כדי לפרק את התוצאה, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל 0.

$$x^{3}-7x-6=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -6 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±6,±3,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}-7x-6 ב- ‎x+1 כדי לקבל ‎x^{2}-x-6. כדי לפרק את התוצאה, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל 0.

$$x^{2}-x-6=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎-1 ב- b ואת ‎-6 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-6\right)}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{1±5}{2}$$

פתור את המשוואה ‎x^{2}-x-6=0 כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=-2 x=3$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים באמצעות השורשים שהתקבלו.

$$\left(x-3\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

הערך

$$\left(x-3\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}-1\right)$$