פתור את =8x^2-22x+15

$$= 8 x ^ { 2 } - 22 x + 15$$

פרק לגורמים

$$\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 8x^{2}+ax+bx+15. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-22 ab=8\times 15=120$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -22.

$$a=-12 b=-10$$

שכתב את ‎8x^{2}-22x+15 כ- ‎\left(8x^{2}-12x\right)+\left(-10x+15\right).

$$\left(8x^{2}-12x\right)+\left(-10x+15\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 4x בקבוצה הראשונה ואת -5 בקבוצה השניה.

$$4x\left(2x-3\right)-5\left(2x-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$8x^{2}-22x+15=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

‎-22 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎8.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-32\times 15}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎-32 ב- ‎15.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-480}}{2\times 8}$$

הוסף את ‎484 ל- ‎-480.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{4}}{2\times 8}$$

הוצא את השורש הריבועי של 4.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±2}{2\times 8}$$

ההופכי של ‎-22 הוא ‎22.

$$x=\frac{22±2}{2\times 8}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎8.

$$x=\frac{22±2}{16}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{22±2}{16} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎22 ל- ‎2.

$$x=\frac{24}{16}$$

צמצם את השבר ‎\frac{24}{16} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$x=\frac{3}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{22±2}{16} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2 מ- ‎22.

$$x=\frac{20}{16}$$

צמצם את השבר ‎\frac{20}{16} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=\frac{5}{4}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{3}{2} במקום x_{1} וב- ‎\frac{5}{4} במקום x_{2}.

$$8x^{2}-22x+15=8\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{5}{4}\right)$$

החסר את x מ- \frac{3}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{2x-3}{2}\left(x-\frac{5}{4}\right)$$

החסר את x מ- \frac{5}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{2x-3}{2}\times \frac{4x-5}{4}$$

הכפל את ‎\frac{2x-3}{2} ב- ‎\frac{4x-5}{4} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)}{8}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎8 ב- ‎8 ו- ‎8.

$$8x^{2}-22x+15=\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$

הערך

$$\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$