פתור את =25a^2-35a+12

$$= 25 a ^ { 2 } - 35 a + 12$$

פרק לגורמים

$$\left(5a-4\right)\left(5a-3\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 25a^{2}+pa+qa+12. כדי למצוא את p ו- q, הגדר מערכת לפתרון.

$$p+q=-35 pq=25\times 12=300$$

מאחר ש- pq הוא חיובי, ל- p ול- q יש אותו סימן. מאחר ש- p+q הוא שלילי, p ו- q שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 300.

$$-1,-300 -2,-150 -3,-100 -4,-75 -5,-60 -6,-50 -10,-30 -12,-25 -15,-20$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-300=-301 -2-150=-152 -3-100=-103 -4-75=-79 -5-60=-65 -6-50=-56 -10-30=-40 -12-25=-37 -15-20=-35$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -35.

$$p=-20 q=-15$$

שכתב את ‎25a^{2}-35a+12 כ- ‎\left(25a^{2}-20a\right)+\left(-15a+12\right).

$$\left(25a^{2}-20a\right)+\left(-15a+12\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5a בקבוצה הראשונה ואת -3 בקבוצה השניה.

$$5a\left(5a-4\right)-3\left(5a-4\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 5a-4 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(5a-4\right)\left(5a-3\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$25a^{2}-35a+12=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{\left(-35\right)^{2}-4\times 25\times 12}}{2\times 25}$$

‎-35 בריבוע.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-4\times 25\times 12}}{2\times 25}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎25.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-100\times 12}}{2\times 25}$$

הכפל את ‎-100 ב- ‎12.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-1200}}{2\times 25}$$

הוסף את ‎1225 ל- ‎-1200.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{25}}{2\times 25}$$

הוצא את השורש הריבועי של 25.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±5}{2\times 25}$$

ההופכי של ‎-35 הוא ‎35.

$$a=\frac{35±5}{2\times 25}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎25.

$$a=\frac{35±5}{50}$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{35±5}{50} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎35 ל- ‎5.

$$a=\frac{40}{50}$$

צמצם את השבר ‎\frac{40}{50} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 10.

$$a=\frac{4}{5}$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{35±5}{50} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎5 מ- ‎35.

$$a=\frac{30}{50}$$

צמצם את השבר ‎\frac{30}{50} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 10.

$$a=\frac{3}{5}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{4}{5} במקום x_{1} וב- ‎\frac{3}{5} במקום x_{2}.

$$25a^{2}-35a+12=25\left(a-\frac{4}{5}\right)\left(a-\frac{3}{5}\right)$$

החסר את a מ- \frac{4}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$25a^{2}-35a+12=25\times \frac{5a-4}{5}\left(a-\frac{3}{5}\right)$$

החסר את a מ- \frac{3}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$25a^{2}-35a+12=25\times \frac{5a-4}{5}\times \frac{5a-3}{5}$$

הכפל את ‎\frac{5a-4}{5} ב- ‎\frac{5a-3}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$25a^{2}-35a+12=25\times \frac{\left(5a-4\right)\left(5a-3\right)}{5\times 5}$$

הכפל את ‎5 ב- ‎5.

$$25a^{2}-35a+12=25\times \frac{\left(5a-4\right)\left(5a-3\right)}{25}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎25 ב- ‎25 ו- ‎25.

$$25a^{2}-35a+12=\left(5a-4\right)\left(5a-3\right)$$

הערך

$$\left(5a-4\right)\left(5a-3\right)$$