פתור את =20x^4+31x^2-9

$$= 20 x ^ { 4 } + 31 x ^ { 2 } - 9$$

פרק לגורמים

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

שלבי פתרון

כדי לפרק את הביטוי, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל 0.

$$20x^{4}+31x^{2}-9=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -9 ו- q מחלק את המקדם המוביל 20. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{20},±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{20},±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{20},±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=\frac{1}{2}$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎20x^{4}+31x^{2}-9 ב- ‎2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 כדי לקבל ‎10x^{3}+5x^{2}+18x+9. כדי לפרק את התוצאה, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל 0.

$$10x^{3}+5x^{2}+18x+9=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 9 ו- q מחלק את המקדם המוביל 10. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{2},±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-\frac{1}{2}$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎10x^{3}+5x^{2}+18x+9 ב- ‎2\left(x+\frac{1}{2}\right)=2x+1 כדי לקבל ‎5x^{2}+9. כדי לפרק את התוצאה, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל 0.

$$5x^{2}+9=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎5 ב- a, את ‎0 ב- b ואת ‎9 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{0±\sqrt{-180}}{10}$$

הפולינום 5x^{2}+9 אינו מפורק לגורמים מכיוון שאין לו שורשים רציונליים.

$$5x^{2}+9$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים באמצעות השורשים שהתקבלו.

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

הערך

$$20x^{4}+31x^{2}-9$$