Resolver {l}{x=5y+5}{6x-4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{15}{26}\approx 0.576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0.884615385$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 5y en ambos lados.

$$x-5y=5$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-5y=5$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$x=5y+5$$

Substitúe x por 5+5y na outra ecuación, 6x-4y=7.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

Multiplica 6 por 5+5y.

$$30y+30-4y=7$$

Suma 30y a -4y.

$$26y+30=7$$

Resta 30 en ambos lados da ecuación.

$$26y=-23$$

Divide ambos lados entre 26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Substitúe y por -\frac{23}{26} en x=5y+5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

Multiplica 5 por -\frac{23}{26}.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

Suma 5 a -\frac{115}{26}.

$$x=\frac{15}{26}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 5y en ambos lados.

$$x-5y=5$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 5y en ambos lados.

$$x-5y=5$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Para que x e 6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 6 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

Simplifica.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

Resta 6x-4y=7 de 6x-30y=30 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-30y+4y=30-7$$

Suma -30y a 4y.

$$-26y=30-7$$

Suma 30 a -7.

$$-26y=23$$

Divide ambos lados entre -26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Substitúe y por -\frac{23}{26} en 6x-4y=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

Multiplica -4 por -\frac{23}{26}.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

Resta \frac{46}{13} en ambos lados da ecuación.

$$6x=\frac{45}{13}$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=\frac{15}{26}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$