Résoudre {l}{x=5y+5}{6x-4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

Calculer x, y

$$x=\frac{15}{26}\approx 0,576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0,884615385$$

Étapes d’utilisation de la substitution

Examinez la première équation. Soustraire 5y des deux côtés.

$$x-5y=5$$

Pour calculer une paire d’équations à l’aide de la substitution, commencez par résoudre l’un des équations pour l’une des variables. Substituez ensuite le résultat de cette variable dans l’autre équation.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Choisissez une des équations et résolvez-la pour x en isolant x du côté gauche du signe égal.

$$x-5y=5$$

Ajouter 5y aux deux côtés de l’équation.

$$x=5y+5$$

Substituer 5+5y par x dans l’autre équation, 6x-4y=7.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

Multiplier 6 par 5+5y.

$$30y+30-4y=7$$

Additionner 30y et -4y.

$$26y+30=7$$

Soustraire 30 des deux côtés de l’équation.

$$26y=-23$$

Divisez les deux côtés par 26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Substituer -\frac{23}{26} à y dans x=5y+5. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

Multiplier 5 par -\frac{23}{26}.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

Additionner 5 et -\frac{115}{26}.

$$x=\frac{15}{26}$$

Le système est désormais résolu.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Étapes d’utilisation des matrices

Examinez la première équation. Soustraire 5y des deux côtés.

$$x-5y=5$$

Utiliser le format standard pour les équations, puis des matrices pour résoudre le système d’équations.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Écrire les équations sous forme de matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multipliez la partie gauche de l’équation par la matrice inversée de \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Le produit d’une matrice et son inverse constituent la matrice d’identité.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices du côté gauche du signe égal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pour la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inverse est \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), aussi l’équation de la matrice peut être réécrite sous la forme d’un problème de multiplication de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

Extraire les éléments de matrice x et y.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Étapes d’utilisation de l’élimination

Examinez la première équation. Soustraire 5y des deux côtés.

$$x-5y=5$$

Pour calculer par élimination, les coefficients de l’une des variables doivent être identiques dans les deux équations de telle sorte que la variable s’annule lorsqu’une équation est soustraite de l’autre.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Pour rendre x et 6x égaux, multipliez tous les termes de chaque côté de la première équation par 6 et tous les termes de chaque côté de la seconde équation par 1.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

Simplifier.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

Soustraire 6x-4y=7 de 6x-30y=30 en soustrayant les termes semblables de chaque côté du signe égal.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

Additionner 6x et -6x. Les termes 6x et -6x s’annulent, en laissant une équation avec une seule variable pouvant être résolue.

$$-30y+4y=30-7$$

Additionner -30y et 4y.

$$-26y=30-7$$

Additionner 30 et -7.

$$-26y=23$$

Divisez les deux côtés par -26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Substituer -\frac{23}{26} à y dans 6x-4y=7. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

Multiplier -4 par -\frac{23}{26}.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

Soustraire \frac{46}{13} des deux côtés de l’équation.

$$6x=\frac{45}{13}$$

Divisez les deux côtés par 6.

$$x=\frac{15}{26}$$

Le système est désormais résolu.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$