Lutasin ang {l}{x=5y+5}{6x-4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{15}{26}\approx 0.576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0.884615385$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo.

$$x-5y=5$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x-5y=5$$

Idagdag ang 5y sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=5y+5$$

I-substitute ang 5+5y para sa x sa kabilang equation na 6x-4y=7.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

I-multiply ang 6 times 5+5y.

$$30y+30-4y=7$$

Idagdag ang 30y sa -4y.

$$26y+30=7$$

I-subtract ang 30 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$26y=-23$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

I-substitute ang -\frac{23}{26} para sa y sa x=5y+5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

I-multiply ang 5 times -\frac{23}{26}.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

Idagdag ang 5 sa -\frac{115}{26}.

$$x=\frac{15}{26}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo.

$$x-5y=5$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo.

$$x-5y=5$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Para gawing magkatumbas ang x at 6x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 6 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

Pasimplehin.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

I-subtract ang 6x-4y=7 mula sa 6x-30y=30 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

Idagdag ang 6x sa -6x. Naka-cancel out ang term na 6x at -6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-30y+4y=30-7$$

Idagdag ang -30y sa 4y.

$$-26y=30-7$$

Idagdag ang 30 sa -7.

$$-26y=23$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

I-substitute ang -\frac{23}{26} para sa y sa 6x-4y=7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

I-multiply ang -4 times -\frac{23}{26}.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

I-subtract ang \frac{46}{13} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=\frac{45}{13}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=\frac{15}{26}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$