Resolver {l}{x=5y+5}{6x-4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{15}{26}\approx 0.576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0.884615385$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 5y bi aldeetatik.

$$x-5y=5$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-5y=5$$

Gehitu 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=5y+5$$

Ordeztu 5+5y balioa x balioarekin beste ekuazioan (6x-4y=7).

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

Egin 6 bider 5+5y.

$$30y+30-4y=7$$

Gehitu 30y eta -4y.

$$26y+30=7$$

Egin ken 30 ekuazioaren bi aldeetan.

$$26y=-23$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 26 balioarekin.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Ordeztu -\frac{23}{26} y balioarekin x=5y+5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

Egin 5 bider -\frac{23}{26}.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

Gehitu 5 eta -\frac{115}{26}.

$$x=\frac{15}{26}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 5y bi aldeetatik.

$$x-5y=5$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 5y bi aldeetatik.

$$x-5y=5$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

x eta 6x berdintzeko, biderkatu 6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

Sinplifikatu.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

Egin 6x-4y=7 ken 6x-30y=30 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-30y+4y=30-7$$

Gehitu -30y eta 4y.

$$-26y=30-7$$

Gehitu 30 eta -7.

$$-26y=23$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -26 balioarekin.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Ordeztu -\frac{23}{26} y balioarekin 6x-4y=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

Egin -4 bider -\frac{23}{26}.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

Egin ken \frac{46}{13} ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=\frac{45}{13}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=\frac{15}{26}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$