Επίλυση z^6-z^3+1=0

$$z ^ { 6 } - z ^ { 3 } + 1 = 0$$

Λύση ως προς z

$$z\in e^{\frac{5\pi i}{9}},e^{\frac{17\pi i}{9}},e^{\frac{11\pi i}{9}},e^{\frac{13\pi i}{9}},e^{\frac{\pi i}{9}},e^{\frac{7\pi i}{9}}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Αντικαταστήστε το t με το z^{3}.

$$t^{2}-t+1=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 1 για a, -1 για b και 1 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2}$$

Επιλύστε την εξίσωση t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2} όταν το ± είναι συν και όταν ± είναι μείον.

$$t=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} t=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Από την z=t^{3}, οι λύσεις ληφθούν από την επίλυση της εξίσωσης για κάθε t.

$$z=-e^{\frac{4\pi i}{9}} z=ie^{\frac{5\pi i}{18}} z=e^{\frac{\pi i}{9}} z=-ie^{\frac{7\pi i}{18}} z=-e^{\frac{2\pi i}{9}} z=ie^{\frac{\pi i}{18}}$$