Επίλυση z^3+3z^2+4z-8=0

$$z ^ { 3 } + 3 z ^ { 2 } + 4 z - 8 = 0$$

Λύση ως προς z (complex solution)

$$z=-2-2i$$

$$z=1$$

$$z=-2+2i$$

Βήματα λύσης

Από τη ρητών ρίζας θεώρημα, όλες οι ρητών ρίζες ενός πολυωνύμου βρίσκονται στη \frac{p}{q} φόρμας, όπου p διαιρείται τη σταθερή -8 όρων και q διαιρείται τον αρχικό συντελεστή 1. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±8,±4,±2,±1$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$z=1$$

Κατά παράγοντα θεώρημα, z-k είναι ένας συντελεστής του πολυωνύμου για κάθε ριζικό k. Διαιρέστε το z^{3}+3z^{2}+4z-8 με το z-1 για να λάβετε z^{2}+4z+8. Επίλυση της εξίσωσης όπου το αποτέλεσμα είναι ίσο με 0.

$$z^{2}+4z+8=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 1 για a, 4 για b και 8 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$z=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\times 8}}{2}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$z=\frac{-4±\sqrt{-16}}{2}$$

Επιλύστε την εξίσωση z^{2}+4z+8=0 όταν το ± είναι συν και όταν ± είναι μείον.

$$z=-2-2i z=-2+2i$$

Λίστα όλων των λύσεων που βρέθηκαν.

$$z=1 z=-2-2i z=-2+2i$$

Λύση ως προς z

$$z=1$$

Βήματα λύσης

Από τη ρητών ρίζας θεώρημα, όλες οι ρητών ρίζες ενός πολυωνύμου βρίσκονται στη \frac{p}{q} φόρμας, όπου p διαιρείται τη σταθερή -8 όρων και q διαιρείται τον αρχικό συντελεστή 1. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±8,±4,±2,±1$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$z=1$$

Κατά παράγοντα θεώρημα, z-k είναι ένας συντελεστής του πολυωνύμου για κάθε ριζικό k. Διαιρέστε το z^{3}+3z^{2}+4z-8 με το z-1 για να λάβετε z^{2}+4z+8. Επίλυση της εξίσωσης όπου το αποτέλεσμα είναι ίσο με 0.

$$z^{2}+4z+8=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 1 για a, 4 για b και 8 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$z=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\times 8}}{2}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$z=\frac{-4±\sqrt{-16}}{2}$$

Δεδομένου ότι η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού δεν ορίζεται σε πραγματικό πεδίο, δεν υπάρχουν λύσεις.

$$z\in \emptyset$$

Λίστα όλων των λύσεων που βρέθηκαν.

$$z=1$$