Επίλυση z^2-10z=-25

$$z ^ { 2 } - 10 z = - 25$$

Λύση ως προς z

$$z=5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Προσθήκη 25 και στις δύο πλευρές.

$$z^{2}-10z+25=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε z^{2}-10z+25 χρησιμοποιώντας τον τύπο z^{2}+\left(a+b\right)z+ab=\left(z+a\right)\left(z+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-10 ab=25$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 25.

$$-1,-25 -5,-5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-25=-26 -5-5=-10$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -10.

$$a=-5 b=-5$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(z+a\right)\left(z+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(z-5\right)\left(z-5\right)$$

Επαναδιατυπώστε την ως τετράγωνο διωνύμου.

$$\left(z-5\right)^{2}$$

Για να βρείτε τη λύση της εξίσωσης, λύστε το z-5=0.

$$z=5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Προσθήκη 25 και στις δύο πλευρές.

$$z^{2}-10z+25=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως z^{2}+az+bz+25. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-10 ab=1\times 25=25$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 25.

$$-1,-25 -5,-5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-25=-26 -5-5=-10$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -10.

$$a=-5 b=-5$$

Γράψτε πάλι το z^{2}-10z+25 ως \left(z^{2}-5z\right)+\left(-5z+25\right).

$$\left(z^{2}-5z\right)+\left(-5z+25\right)$$

Παραγοντοποιήστε z στο πρώτο και στο -5 της δεύτερης ομάδας.

$$z\left(z-5\right)-5\left(z-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο z-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(z-5\right)\left(z-5\right)$$

Επαναδιατυπώστε την ως τετράγωνο διωνύμου.

$$\left(z-5\right)^{2}$$

Για να βρείτε τη λύση της εξίσωσης, λύστε το z-5=0.

$$z=5$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$z^{2}-10z=-25$$

Προσθέστε 25 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$z^{2}-10z-\left(-25\right)=-25-\left(-25\right)$$

Η αφαίρεση του -25 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$z^{2}-10z-\left(-25\right)=0$$

Αφαιρέστε -25 από 0.

$$z^{2}-10z+25=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -10 και το c με 25 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 25}}{2}$$

Υψώστε το -10 στο τετράγωνο.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 25}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 25.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-100}}{2}$$

Προσθέστε το 100 και το -100.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{0}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 0.

$$z=-\frac{-10}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -10 είναι 10.

$$z=\frac{10}{2}$$

Διαιρέστε το 10 με το 2.

$$z=5$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$z^{2}-10z=-25$$

Διαιρέστε το -10, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -5. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -5 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$z^{2}-10z+\left(-5\right)^{2}=-25+\left(-5\right)^{2}$$

Υψώστε το -5 στο τετράγωνο.

$$z^{2}-10z+25=-25+25$$

Προσθέστε το -25 και το 25.

$$z^{2}-10z+25=0$$

Παραγον z^{2}-10z+25. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-5\right)^{2}=0$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(z-5\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Απλοποιήστε.

$$z-5=0 z-5=0$$

Προσθέστε 5 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$z=5 z=5$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί. Οι λύσεις είναι ίδιες.

$$z=5$$