Επίλυση z^2+3z-30=(2z+5)(z+6)

$$z ^ { 2 } + 3 z - 30 = ( 2 z + 5 ) ( z + 6 )$$

Λύση ως προς z

$$z=-\sqrt{11}i-7\approx -7-3,31662479i$$

$$z=-7+\sqrt{11}i\approx -7+3,31662479i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2z+5 με το z+6 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$z^{2}+3z-30=2z^{2}+17z+30$$

Αφαιρέστε 2z^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$z^{2}+3z-30-2z^{2}=17z+30$$

Συνδυάστε το z^{2} και το -2z^{2} για να λάβετε -z^{2}.

$$-z^{2}+3z-30=17z+30$$

Αφαιρέστε 17z και από τις δύο πλευρές.

$$-z^{2}+3z-30-17z=30$$

Συνδυάστε το 3z και το -17z για να λάβετε -14z.

$$-z^{2}-14z-30=30$$

Αφαιρέστε 30 και από τις δύο πλευρές.

$$-z^{2}-14z-30-30=0$$

Αφαιρέστε 30 από -30 για να λάβετε -60.

$$-z^{2}-14z-60=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με -14 και το c με -60 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-60\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το -14 στο τετράγωνο.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\left(-1\right)\left(-60\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+4\left(-60\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί -60.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-240}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 196 και το -240.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{-44}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -44.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{11}i}{2\left(-1\right)}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -14 είναι 14.

$$z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 14 και το 2i\sqrt{11}.

$$z=\frac{14+2\sqrt{11}i}{-2}$$

Διαιρέστε το 14+2i\sqrt{11} με το -2.

$$z=-\sqrt{11}i-7$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2i\sqrt{11} από 14.

$$z=\frac{-2\sqrt{11}i+14}{-2}$$

Διαιρέστε το 14-2i\sqrt{11} με το -2.

$$z=-7+\sqrt{11}i$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$z=-\sqrt{11}i-7 z=-7+\sqrt{11}i$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2z+5 με το z+6 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$z^{2}+3z-30=2z^{2}+17z+30$$

Αφαιρέστε 2z^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$z^{2}+3z-30-2z^{2}=17z+30$$

Συνδυάστε το z^{2} και το -2z^{2} για να λάβετε -z^{2}.

$$-z^{2}+3z-30=17z+30$$

Αφαιρέστε 17z και από τις δύο πλευρές.

$$-z^{2}+3z-30-17z=30$$

Συνδυάστε το 3z και το -17z για να λάβετε -14z.

$$-z^{2}-14z-30=30$$

Προσθήκη 30 και στις δύο πλευρές.

$$-z^{2}-14z=30+30$$

Προσθέστε 30 και 30 για να λάβετε 60.

$$-z^{2}-14z=60$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-z^{2}-14z}{-1}=\frac{60}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$z^{2}+\left(-\frac{14}{-1}\right)z=\frac{60}{-1}$$

Διαιρέστε το -14 με το -1.

$$z^{2}+14z=\frac{60}{-1}$$

Διαιρέστε το 60 με το -1.

$$z^{2}+14z=-60$$

Διαιρέστε το 14, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 7. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 7 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$z^{2}+14z+7^{2}=-60+7^{2}$$

Υψώστε το 7 στο τετράγωνο.

$$z^{2}+14z+49=-60+49$$

Προσθέστε το -60 και το 49.

$$z^{2}+14z+49=-11$$

Παραγον z^{2}+14z+49. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+7\right)^{2}=-11$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(z+7\right)^{2}}=\sqrt{-11}$$

Απλοποιήστε.

$$z+7=\sqrt{11}i z+7=-\sqrt{11}i$$

Αφαιρέστε 7 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$z=-7+\sqrt{11}i z=-\sqrt{11}i-7$$