Επίλυση z^2+3z-10=0

$$z ^ { 2 } + 3 z - 10 = 0$$

Λύση ως προς z

$$z=-5$$

$$z=2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε z^{2}+3z-10 χρησιμοποιώντας τον τύπο z^{2}+\left(a+b\right)z+ab=\left(z+a\right)\left(z+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=3 ab=-10$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -10.

$$-1,10 -2,5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 3.

$$a=-2 b=5$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(z+a\right)\left(z+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(z-2\right)\left(z+5\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε z-2=0 και z+5=0.

$$z=2 z=-5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως z^{2}+az+bz-10. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=3 ab=1\left(-10\right)=-10$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -10.

$$-1,10 -2,5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 3.

$$a=-2 b=5$$

Γράψτε πάλι το z^{2}+3z-10 ως \left(z^{2}-2z\right)+\left(5z-10\right).

$$\left(z^{2}-2z\right)+\left(5z-10\right)$$

Παραγοντοποιήστε z στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$z\left(z-2\right)+5\left(z-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο z-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(z-2\right)\left(z+5\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε z-2=0 και z+5=0.

$$z=2 z=-5$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$z^{2}+3z-10=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 3 και το c με -10 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-10\right)}}{2}$$

Υψώστε το 3 στο τετράγωνο.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-10\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -10.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9+40}}{2}$$

Προσθέστε το 9 και το 40.

$$z=\frac{-3±\sqrt{49}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 49.

$$z=\frac{-3±7}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{-3±7}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -3 και το 7.

$$z=\frac{4}{2}$$

Διαιρέστε το 4 με το 2.

$$z=2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{-3±7}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 7 από -3.

$$z=-\frac{10}{2}$$

Διαιρέστε το -10 με το 2.

$$z=-5$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$z=2 z=-5$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$z^{2}+3z-10=0$$

Προσθέστε 10 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$z^{2}+3z-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Η αφαίρεση του -10 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$z^{2}+3z=-\left(-10\right)$$

Αφαιρέστε -10 από 0.

$$z^{2}+3z=10$$

Διαιρέστε το 3, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{3}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{3}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$z^{2}+3z+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{3}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Προσθέστε το 10 και το \frac{9}{4}.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Παραγον z^{2}+3z+\frac{9}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$z+\frac{3}{2}=\frac{7}{2} z+\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{3}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$z=2 z=-5$$