Επίλυση z^2+14z+49

$$z ^ { 2 } + 14 z + 49$$

Παράγοντας

$$\left(z+7\right)^{2}$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως z^{2}+az+bz+49. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=14 ab=1\times 49=49$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 49.

$$1,49 7,7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+49=50 7+7=14$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 14.

$$a=7 b=7$$

Γράψτε πάλι το z^{2}+14z+49 ως \left(z^{2}+7z\right)+\left(7z+49\right).

$$\left(z^{2}+7z\right)+\left(7z+49\right)$$

Παραγοντοποιήστε z στο πρώτο και στο 7 της δεύτερης ομάδας.

$$z\left(z+7\right)+7\left(z+7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο z+7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(z+7\right)\left(z+7\right)$$

Επαναδιατυπώστε την ως τετράγωνο διωνύμου.

$$\left(z+7\right)^{2}$$

Βήματα με χρήσης του τετραγώνου του διώνυμου

Αυτό το τριώνυμο έχει τη μορφή ενός τριωνυμικού τετραγώνου, πολλαπλασιασμένου ενδεχομένως με έναν κοινό παράγοντα. Τα τριωνυμικά τετράγωνα μπορούν να παραγοντοποιηθούν βρίσκοντας τις τετραγωνικές ρίζες του πρώτου και του τελευταίου όρου.

$$factor(z^{2}+14z+49)$$

Βρείτε την τετραγωνική ρίζα του τελευταίου όρου, 49.

$$\sqrt{49}=7$$

Το τριωνυμικό τετράγωνο είναι το τετράγωνο του διωνύμου που είναι το άθροισμα ή η διαφορά των τετραγωνικών ριζών του πρώτου και του τελευταίου όρου, με το πρόσημο να καθορίζεται από το πρόσημο του μεσαίου όρου του τριωνυμικού τετραγώνου.

$$\left(z+7\right)^{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$z^{2}+14z+49=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$z=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 49}}{2}$$

Υψώστε το 14 στο τετράγωνο.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 49}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 49.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196-196}}{2}$$

Προσθέστε το 196 και το -196.

$$z=\frac{-14±\sqrt{0}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 0.

$$z=\frac{-14±0}{2}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -7 με το x_{1} και το -7 με το x_{2}.

$$z^{2}+14z+49=\left(z-\left(-7\right)\right)\left(z-\left(-7\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$z^{2}+14z+49=\left(z+7\right)\left(z+7\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(z+7\right)^{2}$$