Επίλυση z^2+14=9z

$$z ^ { 2 } + 14 = 9 z$$

Λύση ως προς z

$$z=2$$

$$z=7$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Αφαιρέστε 9z και από τις δύο πλευρές.

$$z^{2}+14-9z=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$z^{2}-9z+14=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε z^{2}-9z+14 χρησιμοποιώντας τον τύπο z^{2}+\left(a+b\right)z+ab=\left(z+a\right)\left(z+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-9 ab=14$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 14.

$$-1,-14 -2,-7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-14=-15 -2-7=-9$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -9.

$$a=-7 b=-2$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(z+a\right)\left(z+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(z-7\right)\left(z-2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε z-7=0 και z-2=0.

$$z=7 z=2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 9z και από τις δύο πλευρές.

$$z^{2}+14-9z=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$z^{2}-9z+14=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως z^{2}+az+bz+14. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-9 ab=1\times 14=14$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 14.

$$-1,-14 -2,-7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-14=-15 -2-7=-9$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -9.

$$a=-7 b=-2$$

Γράψτε πάλι το z^{2}-9z+14 ως \left(z^{2}-7z\right)+\left(-2z+14\right).

$$\left(z^{2}-7z\right)+\left(-2z+14\right)$$

Παραγοντοποιήστε z στο πρώτο και στο -2 της δεύτερης ομάδας.

$$z\left(z-7\right)-2\left(z-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο z-7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(z-7\right)\left(z-2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε z-7=0 και z-2=0.

$$z=7 z=2$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Αφαιρέστε 9z και από τις δύο πλευρές.

$$z^{2}+14-9z=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$z^{2}-9z+14=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -9 και το c με 14 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 14}}{2}$$

Υψώστε το -9 στο τετράγωνο.

$$z=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 14}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 14.

$$z=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-56}}{2}$$

Προσθέστε το 81 και το -56.

$$z=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{25}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 25.

$$z=\frac{-\left(-9\right)±5}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -9 είναι 9.

$$z=\frac{9±5}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{9±5}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 9 και το 5.

$$z=\frac{14}{2}$$

Διαιρέστε το 14 με το 2.

$$z=7$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{9±5}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 5 από 9.

$$z=\frac{4}{2}$$

Διαιρέστε το 4 με το 2.

$$z=2$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$z=7 z=2$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Αφαιρέστε 9z και από τις δύο πλευρές.

$$z^{2}+14-9z=0$$

Αφαιρέστε 14 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$z^{2}-9z=-14$$

Διαιρέστε το -9, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{9}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{9}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$z^{2}-9z+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=-14+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{9}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$z^{2}-9z+\frac{81}{4}=-14+\frac{81}{4}$$

Προσθέστε το -14 και το \frac{81}{4}.

$$z^{2}-9z+\frac{81}{4}=\frac{25}{4}$$

Παραγον z^{2}-9z+\frac{81}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(z-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$z-\frac{9}{2}=\frac{5}{2} z-\frac{9}{2}=-\frac{5}{2}$$

Προσθέστε \frac{9}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$z=7 z=2$$