Επίλυση z=xy+e^y/y^2+1.text{Find}partial^2z/partialxpartialy

$$z = x y + \frac { e ^ { y } } { y ^ { 2 } + 1 } . \text { Find } \frac { \partial ^ { 2 } z } { \partial x \partial y }$$

Λύση ως προς x

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{e^{y}-z-zy^{2}}{y\left(y^{2}+1\right)}\text{, }&y\neq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }&z=1\text{ and }y=0\end{matrix}\right.$$

Βήματα για την επίλυση γραμμικής εξίσωσης

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με y^{2}+1.

$$z\left(y^{2}+1\right)=xy\left(y^{2}+1\right)+e^{y}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το z με το y^{2}+1.

$$zy^{2}+z=xy\left(y^{2}+1\right)+e^{y}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το xy με το y^{2}+1.

$$zy^{2}+z=xy^{3}+xy+e^{y}$$

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$xy^{3}+xy+e^{y}=zy^{2}+z$$

Αφαιρέστε e^{y} και από τις δύο πλευρές.

$$xy^{3}+xy=zy^{2}+z-e^{y}$$

Συνδυάστε όλους τους όρους που περιέχουν x.

$$\left(y^{3}+y\right)x=zy^{2}+z-e^{y}$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με y^{3}+y.

$$\frac{\left(y^{3}+y\right)x}{y^{3}+y}=\frac{zy^{2}+z-e^{y}}{y^{3}+y}$$

Η διαίρεση με το y^{3}+y αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το y^{3}+y.

$$x=\frac{zy^{2}+z-e^{y}}{y^{3}+y}$$

Διαιρέστε το zy^{2}+z-e^{y} με το y^{3}+y.

$$x=\frac{zy^{2}+z-e^{y}}{y\left(y^{2}+1\right)}$$