Επίλυση y(x)=-16x^2+48x+288

$$y(x)=-16 { x }^{ 2 } +48x+288$$

Παράγοντας

$$-16\left(x-6\right)\left(x+3\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε το 16.

$$16\left(-x^{2}+3x+18\right)$$

Υπολογίστε -x^{2}+3x+18. Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx+18. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=3 ab=-18=-18$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -18.

$$-1,18 -2,9 -3,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+18=17 -2+9=7 -3+6=3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 3.

$$a=6 b=-3$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+3x+18 ως \left(-x^{2}+6x\right)+\left(-3x+18\right).

$$\left(-x^{2}+6x\right)+\left(-3x+18\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο -3 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(x-6\right)-3\left(x-6\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-6 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-6\right)\left(-x-3\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$16\left(x-6\right)\left(-x-3\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$-16x^{2}+48x+288=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\left(-16\right)\times 288}}{2\left(-16\right)}$$

Υψώστε το 48 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\left(-16\right)\times 288}}{2\left(-16\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -16.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+64\times 288}}{2\left(-16\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 64 επί 288.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+18432}}{2\left(-16\right)}$$

Προσθέστε το 2304 και το 18432.

$$x=\frac{-48±\sqrt{20736}}{2\left(-16\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 20736.

$$x=\frac{-48±144}{2\left(-16\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -16.

$$x=\frac{-48±144}{-32}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-48±144}{-32} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -48 και το 144.

$$x=\frac{96}{-32}$$

Διαιρέστε το 96 με το -32.

$$x=-3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-48±144}{-32} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 144 από -48.

$$x=-\frac{192}{-32}$$

Διαιρέστε το -192 με το -32.

$$x=6$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -3 με το x_{1} και το 6 με το x_{2}.

$$-16x^{2}+48x+288=-16\left(x-\left(-3\right)\right)\left(x-6\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$-16x^{2}+48x+288=-16\left(x+3\right)\left(x-6\right)$$

Υπολογισμός

$$-16\left(x-6\right)\left(x+3\right)$$