Επίλυση y^2-90=13y

$$y ^ { 2 } - 90 = 13 y$$

Λύση ως προς y

$$y=-5$$

$$y=18$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Αφαιρέστε 13y και από τις δύο πλευρές.

$$y^{2}-90-13y=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$y^{2}-13y-90=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε y^{2}-13y-90 χρησιμοποιώντας τον τύπο y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-13 ab=-90$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -13.

$$a=-18 b=5$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(y+a\right)\left(y+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(y-18\right)\left(y+5\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε y-18=0 και y+5=0.

$$y=18 y=-5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 13y και από τις δύο πλευρές.

$$y^{2}-90-13y=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$y^{2}-13y-90=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως y^{2}+ay+by-90. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-13 ab=1\left(-90\right)=-90$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -13.

$$a=-18 b=5$$

Γράψτε πάλι το y^{2}-13y-90 ως \left(y^{2}-18y\right)+\left(5y-90\right).

$$\left(y^{2}-18y\right)+\left(5y-90\right)$$

Παραγοντοποιήστε y στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$y\left(y-18\right)+5\left(y-18\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο y-18 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(y-18\right)\left(y+5\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε y-18=0 και y+5=0.

$$y=18 y=-5$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Αφαιρέστε 13y και από τις δύο πλευρές.

$$y^{2}-90-13y=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$y^{2}-13y-90=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -13 και το c με -90 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\left(-90\right)}}{2}$$

Υψώστε το -13 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\left(-90\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -90.

$$y=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169+360}}{2}$$

Προσθέστε το 169 και το 360.

$$y=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{529}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 529.

$$y=\frac{-\left(-13\right)±23}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -13 είναι 13.

$$y=\frac{13±23}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{13±23}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 13 και το 23.

$$y=\frac{36}{2}$$

Διαιρέστε το 36 με το 2.

$$y=18$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{13±23}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 23 από 13.

$$y=-\frac{10}{2}$$

Διαιρέστε το -10 με το 2.

$$y=-5$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$y=18 y=-5$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Αφαιρέστε 13y και από τις δύο πλευρές.

$$y^{2}-90-13y=0$$

Προσθήκη 90 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$y^{2}-13y=90$$

Διαιρέστε το -13, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{13}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{13}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$y^{2}-13y+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=90+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{13}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$y^{2}-13y+\frac{169}{4}=90+\frac{169}{4}$$

Προσθέστε το 90 και το \frac{169}{4}.

$$y^{2}-13y+\frac{169}{4}=\frac{529}{4}$$

Παραγον y^{2}-13y+\frac{169}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{529}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(y-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$y-\frac{13}{2}=\frac{23}{2} y-\frac{13}{2}=-\frac{23}{2}$$

Προσθέστε \frac{13}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$y=18 y=-5$$