Επίλυση y^2-8y+12=0

$$y ^ { 2 } - 8 y + 12 = 0$$

Λύση ως προς y

$$y=2$$

$$y=6$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για την επίλυση της εξίσωσης, παραγοντοποιήστε την παράσταση y^{2}-8y+12 χρησιμοποιώντας τον τύπο y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-8 ab=12$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι αρνητική, a και b είναι και τα δύο αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -8.

$$a=-6 b=-2$$

Η επανεγγραφή της παράστασης παραγοντοποιήθηκε \left(y+a\right)\left(y+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που λήφθηκαν.

$$\left(y-6\right)\left(y-2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε y-6=0 και y-2=0.

$$y=6 y=2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως y^{2}+ay+by+12. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-8 ab=1\times 12=12$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι αρνητική, a και b είναι και τα δύο αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -8.

$$a=-6 b=-2$$

Γράψτε πάλι το y^{2}-8y+12 ως \left(y^{2}-6y\right)+\left(-2y+12\right).

$$\left(y^{2}-6y\right)+\left(-2y+12\right)$$

Παραγοντοποιήστε το y στην πρώτη και το -2 στη δεύτερη ομάδα.

$$y\left(y-6\right)-2\left(y-6\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο y-6 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(y-6\right)\left(y-2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε y-6=0 και y-2=0.

$$y=6 y=2$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$y^{2}-8y+12=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -8 και το c με 12 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 12}}{2}$$

Υψώστε το -8 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 12}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 12.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-48}}{2}$$

Προσθέστε το 64 και το -48.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{16}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 16.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±4}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -8 είναι 8.

$$y=\frac{8±4}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{8±4}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 8 και το 4.

$$y=\frac{12}{2}$$

Διαιρέστε το 12 με το 2.

$$y=6$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{8±4}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4 από 8.

$$y=\frac{4}{2}$$

Διαιρέστε το 4 με το 2.

$$y=2$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$y=6 y=2$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-8y+12=0$$

Αφαιρέστε 12 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$y^{2}-8y+12-12=-12$$

Η αφαίρεση του 12 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$y^{2}-8y=-12$$

Διαιρέστε το -8, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -4. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -4 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$y^{2}-8y+\left(-4\right)^{2}=-12+\left(-4\right)^{2}$$

Υψώστε το -4 στο τετράγωνο.

$$y^{2}-8y+16=-12+16$$

Προσθέστε το -12 και το 16.

$$y^{2}-8y+16=4$$

Παραγοντοποιήστε το y^{2}-8y+16. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-4\right)^{2}=4$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(y-4\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Απλοποιήστε.

$$y-4=2 y-4=-2$$

Προσθέστε 4 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$y=6 y=2$$