Επίλυση y^2-7y+6=0

$$y ^ { 2 } - 7 y + 6 = 0$$

Λύση ως προς y

$$y=1$$

$$y=6$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε y^{2}-7y+6 χρησιμοποιώντας τον τύπο y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-7 ab=6$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 6.

$$-1,-6 -2,-3$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-6=-7 -2-3=-5$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -7.

$$a=-6 b=-1$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(y+a\right)\left(y+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(y-6\right)\left(y-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε y-6=0 και y-1=0.

$$y=6 y=1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως y^{2}+ay+by+6. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-7 ab=1\times 6=6$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 6.

$$-1,-6 -2,-3$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-6=-7 -2-3=-5$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -7.

$$a=-6 b=-1$$

Γράψτε πάλι το y^{2}-7y+6 ως \left(y^{2}-6y\right)+\left(-y+6\right).

$$\left(y^{2}-6y\right)+\left(-y+6\right)$$

Παραγοντοποιήστε y στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$y\left(y-6\right)-\left(y-6\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο y-6 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(y-6\right)\left(y-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε y-6=0 και y-1=0.

$$y=6 y=1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$y^{2}-7y+6=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -7 και το c με 6 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 6}}{2}$$

Υψώστε το -7 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 6}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-24}}{2}$$

Προσθέστε το 49 και το -24.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{25}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 25.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±5}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -7 είναι 7.

$$y=\frac{7±5}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{7±5}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 7 και το 5.

$$y=\frac{12}{2}$$

Διαιρέστε το 12 με το 2.

$$y=6$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{7±5}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 5 από 7.

$$y=\frac{2}{2}$$

Διαιρέστε το 2 με το 2.

$$y=1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$y=6 y=1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-7y+6=0$$

Αφαιρέστε 6 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$y^{2}-7y+6-6=-6$$

Η αφαίρεση του 6 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$y^{2}-7y=-6$$

Διαιρέστε το -7, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{7}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{7}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$y^{2}-7y+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-6+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{7}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$y^{2}-7y+\frac{49}{4}=-6+\frac{49}{4}$$

Προσθέστε το -6 και το \frac{49}{4}.

$$y^{2}-7y+\frac{49}{4}=\frac{25}{4}$$

Παραγον y^{2}-7y+\frac{49}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(y-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$y-\frac{7}{2}=\frac{5}{2} y-\frac{7}{2}=-\frac{5}{2}$$

Προσθέστε \frac{7}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$y=6 y=1$$