Επίλυση y^2-27y+180=0

$$y ^ { 2 } - 27 y + 180 = 0$$

Λύση ως προς y

$$y=12$$

$$y=15$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε y^{2}-27y+180 χρησιμοποιώντας τον τύπο y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-27 ab=180$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 180.

$$-1,-180 -2,-90 -3,-60 -4,-45 -5,-36 -6,-30 -9,-20 -10,-18 -12,-15$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-180=-181 -2-90=-92 -3-60=-63 -4-45=-49 -5-36=-41 -6-30=-36 -9-20=-29 -10-18=-28 -12-15=-27$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -27.

$$a=-15 b=-12$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(y+a\right)\left(y+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(y-15\right)\left(y-12\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε y-15=0 και y-12=0.

$$y=15 y=12$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως y^{2}+ay+by+180. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-27 ab=1\times 180=180$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 180.

$$-1,-180 -2,-90 -3,-60 -4,-45 -5,-36 -6,-30 -9,-20 -10,-18 -12,-15$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-180=-181 -2-90=-92 -3-60=-63 -4-45=-49 -5-36=-41 -6-30=-36 -9-20=-29 -10-18=-28 -12-15=-27$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -27.

$$a=-15 b=-12$$

Γράψτε πάλι το y^{2}-27y+180 ως \left(y^{2}-15y\right)+\left(-12y+180\right).

$$\left(y^{2}-15y\right)+\left(-12y+180\right)$$

Παραγοντοποιήστε y στο πρώτο και στο -12 της δεύτερης ομάδας.

$$y\left(y-15\right)-12\left(y-15\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο y-15 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(y-15\right)\left(y-12\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε y-15=0 και y-12=0.

$$y=15 y=12$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$y^{2}-27y+180=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -27 και το c με 180 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{\left(-27\right)^{2}-4\times 180}}{2}$$

Υψώστε το -27 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-4\times 180}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 180.

$$y=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-720}}{2}$$

Προσθέστε το 729 και το -720.

$$y=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 9.

$$y=\frac{-\left(-27\right)±3}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -27 είναι 27.

$$y=\frac{27±3}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{27±3}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 27 και το 3.

$$y=\frac{30}{2}$$

Διαιρέστε το 30 με το 2.

$$y=15$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{27±3}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 3 από 27.

$$y=\frac{24}{2}$$

Διαιρέστε το 24 με το 2.

$$y=12$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$y=15 y=12$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-27y+180=0$$

Αφαιρέστε 180 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$y^{2}-27y+180-180=-180$$

Η αφαίρεση του 180 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$y^{2}-27y=-180$$

Διαιρέστε το -27, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{27}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{27}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$y^{2}-27y+\left(-\frac{27}{2}\right)^{2}=-180+\left(-\frac{27}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{27}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$y^{2}-27y+\frac{729}{4}=-180+\frac{729}{4}$$

Προσθέστε το -180 και το \frac{729}{4}.

$$y^{2}-27y+\frac{729}{4}=\frac{9}{4}$$

Παραγον y^{2}-27y+\frac{729}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{27}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(y-\frac{27}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$y-\frac{27}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{27}{2}=-\frac{3}{2}$$

Προσθέστε \frac{27}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$y=15 y=12$$