Επίλυση y^2-10y+16=0

$$y ^ { 2 } - 10 y + 16 = 0$$

Λύση ως προς y

$$y=2$$

$$y=8$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για την επίλυση της εξίσωσης, παραγοντοποιήστε την παράσταση y^{2}-10y+16 χρησιμοποιώντας τον τύπο y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-10 ab=16$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι αρνητική, a και b είναι και τα δύο αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 16.

$$-1,-16 -2,-8 -4,-4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-16=-17 -2-8=-10 -4-4=-8$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -10.

$$a=-8 b=-2$$

Η επανεγγραφή της παράστασης παραγοντοποιήθηκε \left(y+a\right)\left(y+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που λήφθηκαν.

$$\left(y-8\right)\left(y-2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε y-8=0 και y-2=0.

$$y=8 y=2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως y^{2}+ay+by+16. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-10 ab=1\times 16=16$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι αρνητική, a και b είναι και τα δύο αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 16.

$$-1,-16 -2,-8 -4,-4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-16=-17 -2-8=-10 -4-4=-8$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -10.

$$a=-8 b=-2$$

Γράψτε πάλι το y^{2}-10y+16 ως \left(y^{2}-8y\right)+\left(-2y+16\right).

$$\left(y^{2}-8y\right)+\left(-2y+16\right)$$

Παραγοντοποιήστε το y στην πρώτη και το -2 στη δεύτερη ομάδα.

$$y\left(y-8\right)-2\left(y-8\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο y-8 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(y-8\right)\left(y-2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε y-8=0 και y-2=0.

$$y=8 y=2$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$y^{2}-10y+16=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -10 και το c με 16 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 16}}{2}$$

Υψώστε το -10 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 16}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 16.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-64}}{2}$$

Προσθέστε το 100 και το -64.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{36}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 36.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±6}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -10 είναι 10.

$$y=\frac{10±6}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{10±6}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 10 και το 6.

$$y=\frac{16}{2}$$

Διαιρέστε το 16 με το 2.

$$y=8$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{10±6}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 6 από 10.

$$y=\frac{4}{2}$$

Διαιρέστε το 4 με το 2.

$$y=2$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$y=8 y=2$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-10y+16=0$$

Αφαιρέστε 16 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$y^{2}-10y+16-16=-16$$

Η αφαίρεση του 16 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$y^{2}-10y=-16$$

Διαιρέστε το -10, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -5. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -5 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$y^{2}-10y+\left(-5\right)^{2}=-16+\left(-5\right)^{2}$$

Υψώστε το -5 στο τετράγωνο.

$$y^{2}-10y+25=-16+25$$

Προσθέστε το -16 και το 25.

$$y^{2}-10y+25=9$$

Παραγοντοποιήστε το y^{2}-10y+25. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-5\right)^{2}=9$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(y-5\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Απλοποιήστε.

$$y-5=3 y-5=-3$$

Προσθέστε 5 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$y=8 y=2$$