Επίλυση y^2+9y=-8

$$y ^ { 2 } + 9 y = - 8$$

Λύση ως προς y

$$y=-8$$

$$y=-1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Προσθήκη 8 και στις δύο πλευρές.

$$y^{2}+9y+8=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε y^{2}+9y+8 χρησιμοποιώντας τον τύπο y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=9 ab=8$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 8.

$$1,8 2,4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+8=9 2+4=6$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 9.

$$a=1 b=8$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(y+a\right)\left(y+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(y+1\right)\left(y+8\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε y+1=0 και y+8=0.

$$y=-1 y=-8$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Προσθήκη 8 και στις δύο πλευρές.

$$y^{2}+9y+8=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως y^{2}+ay+by+8. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=9 ab=1\times 8=8$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 8.

$$1,8 2,4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+8=9 2+4=6$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 9.

$$a=1 b=8$$

Γράψτε πάλι το y^{2}+9y+8 ως \left(y^{2}+y\right)+\left(8y+8\right).

$$\left(y^{2}+y\right)+\left(8y+8\right)$$

Παραγοντοποιήστε y στο πρώτο και στο 8 της δεύτερης ομάδας.

$$y\left(y+1\right)+8\left(y+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο y+1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(y+1\right)\left(y+8\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε y+1=0 και y+8=0.

$$y=-1 y=-8$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$y^{2}+9y=-8$$

Προσθέστε 8 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$y^{2}+9y-\left(-8\right)=-8-\left(-8\right)$$

Η αφαίρεση του -8 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$y^{2}+9y-\left(-8\right)=0$$

Αφαιρέστε -8 από 0.

$$y^{2}+9y+8=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 9 και το c με 8 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 8}}{2}$$

Υψώστε το 9 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 8}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 8.

$$y=\frac{-9±\sqrt{81-32}}{2}$$

Προσθέστε το 81 και το -32.

$$y=\frac{-9±\sqrt{49}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 49.

$$y=\frac{-9±7}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-9±7}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -9 και το 7.

$$y=-\frac{2}{2}$$

Διαιρέστε το -2 με το 2.

$$y=-1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-9±7}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 7 από -9.

$$y=-\frac{16}{2}$$

Διαιρέστε το -16 με το 2.

$$y=-8$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$y=-1 y=-8$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$y^{2}+9y=-8$$

Διαιρέστε το 9, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{9}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{9}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$y^{2}+9y+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}=-8+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{9}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$y^{2}+9y+\frac{81}{4}=-8+\frac{81}{4}$$

Προσθέστε το -8 και το \frac{81}{4}.

$$y^{2}+9y+\frac{81}{4}=\frac{49}{4}$$

Παραγον y^{2}+9y+\frac{81}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(y+\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$y+\frac{9}{2}=\frac{7}{2} y+\frac{9}{2}=-\frac{7}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{9}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$y=-1 y=-8$$