Επίλυση y^2+10y+24=0

$$y ^ { 2 } + 10 y + 24 = 0$$

Λύση ως προς y

$$y=-6$$

$$y=-4$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε y^{2}+10y+24 χρησιμοποιώντας τον τύπο y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=10 ab=24$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 10.

$$a=4 b=6$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(y+a\right)\left(y+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(y+4\right)\left(y+6\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε y+4=0 και y+6=0.

$$y=-4 y=-6$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως y^{2}+ay+by+24. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=10 ab=1\times 24=24$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 10.

$$a=4 b=6$$

Γράψτε πάλι το y^{2}+10y+24 ως \left(y^{2}+4y\right)+\left(6y+24\right).

$$\left(y^{2}+4y\right)+\left(6y+24\right)$$

Παραγοντοποιήστε y στο πρώτο και στο 6 της δεύτερης ομάδας.

$$y\left(y+4\right)+6\left(y+4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο y+4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(y+4\right)\left(y+6\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε y+4=0 και y+6=0.

$$y=-4 y=-6$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$y^{2}+10y+24=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 10 και το c με 24 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 24}}{2}$$

Υψώστε το 10 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 24}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 24.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100-96}}{2}$$

Προσθέστε το 100 και το -96.

$$y=\frac{-10±\sqrt{4}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 4.

$$y=\frac{-10±2}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-10±2}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -10 και το 2.

$$y=-\frac{8}{2}$$

Διαιρέστε το -8 με το 2.

$$y=-4$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-10±2}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2 από -10.

$$y=-\frac{12}{2}$$

Διαιρέστε το -12 με το 2.

$$y=-6$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$y=-4 y=-6$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$y^{2}+10y+24=0$$

Αφαιρέστε 24 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$y^{2}+10y+24-24=-24$$

Η αφαίρεση του 24 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$y^{2}+10y=-24$$

Διαιρέστε το 10, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 5. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 5 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$y^{2}+10y+5^{2}=-24+5^{2}$$

Υψώστε το 5 στο τετράγωνο.

$$y^{2}+10y+25=-24+25$$

Προσθέστε το -24 και το 25.

$$y^{2}+10y+25=1$$

Παραγον y^{2}+10y+25. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+5\right)^{2}=1$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(y+5\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Απλοποιήστε.

$$y+5=1 y+5=-1$$

Αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$y=-4 y=-6$$