Επίλυση x-6+2x^2=2-x^2+3x

$$x-6+2 { x }^{ 2 } = 2- { x }^{ 2 } +3x$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

$$x=2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 2 και από τις δύο πλευρές.

$$x-6+2x^{2}-2=-x^{2}+3x$$

Αφαιρέστε 2 από -6 για να λάβετε -8.

$$x-8+2x^{2}=-x^{2}+3x$$

Προσθήκη x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$x-8+2x^{2}+x^{2}=3x$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 3x^{2}.

$$x-8+3x^{2}=3x$$

Αφαιρέστε 3x και από τις δύο πλευρές.

$$x-8+3x^{2}-3x=0$$

Συνδυάστε το x και το -3x για να λάβετε -2x.

$$-2x-8+3x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$3x^{2}-2x-8=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx-8. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-2 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -2.

$$a=-6 b=4$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}-2x-8 ως \left(3x^{2}-6x\right)+\left(4x-8\right).

$$\left(3x^{2}-6x\right)+\left(4x-8\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο 4 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(x-2\right)+4\left(x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-2\right)\left(3x+4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-2=0 και 3x+4=0.

$$x=2 x=-\frac{4}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Αφαιρέστε 2 και από τις δύο πλευρές.

$$x-6+2x^{2}-2=-x^{2}+3x$$

Αφαιρέστε 2 από -6 για να λάβετε -8.

$$x-8+2x^{2}=-x^{2}+3x$$

Προσθήκη x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$x-8+2x^{2}+x^{2}=3x$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 3x^{2}.

$$x-8+3x^{2}=3x$$

Αφαιρέστε 3x και από τις δύο πλευρές.

$$x-8+3x^{2}-3x=0$$

Συνδυάστε το x και το -3x για να λάβετε -2x.

$$-2x-8+3x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3x^{2}-2x-8=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με -2 και το c με -8 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το -2 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+96}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 4 και το 96.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{100}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 100.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±10}{2\times 3}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -2 είναι 2.

$$x=\frac{2±10}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{2±10}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±10}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 2 και το 10.

$$x=\frac{12}{6}$$

Διαιρέστε το 12 με το 6.

$$x=2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±10}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 10 από 2.

$$x=-\frac{8}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-8}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=2 x=-\frac{4}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Προσθήκη x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$x-6+2x^{2}+x^{2}=2+3x$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 3x^{2}.

$$x-6+3x^{2}=2+3x$$

Αφαιρέστε 3x και από τις δύο πλευρές.

$$x-6+3x^{2}-3x=2$$

Συνδυάστε το x και το -3x για να λάβετε -2x.

$$-2x-6+3x^{2}=2$$

Προσθήκη 6 και στις δύο πλευρές.

$$-2x+3x^{2}=2+6$$

Προσθέστε 2 και 6 για να λάβετε 8.

$$-2x+3x^{2}=8$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x=8$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{8}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{8}{3}$$

Διαιρέστε το -\frac{2}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{8}{3}+\frac{1}{9}$$

Προσθέστε το \frac{8}{3} και το \frac{1}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{25}{9}$$

Παραγον x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{5}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{5}{3}$$

Προσθέστε \frac{1}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=2 x=-\frac{4}{3}$$